Suma de polinomios

La suma de polinomios es otro polinomio resultado de reducir sus términos semejantes presentes en los polinomios sumandos.

En esos términos semejantes, se suman los coeficientes y se deja la parte literal.

El grado del polinomio suma es igual al del polinomio sumando de mayor grado.

Propiedades de la adición de polinomios

Teniendo polinomios cualquiera P(x), Q(x) o R(x), en su suma se cumplen estas propiedades:

  • Propiedad asociativa: la suma no varía si asociamos sumandos.
    Propiedad asociativa en la suma de polinomios
  • Propiedad conmutativa: el orden de los polinomios sumandos no altera el resultado:
    Propiedad conmutativa en la adición de polinomios
  • Elemento neutro: el polinomio nulo es el que todos los coeficientes son iguales a cero. Su grado también es cero:
    Elemento neutro en la adición de polinomios

    Y, para cualquier polinomio P(x), se cumple que:

    Propiedad del elemento neutro en la suma de polinomios

    De tal manera que, sumándole a cualquier polinomio P(x) el polinomio nulo O(x), el resultado es el polinomio mismo P(x).

  • Elemento simétrico: Es el polinomio N(x) opuesto a M(x) (sus ´terminos tienen la misma parte literal, pero lo coeficientes correspondientes son iguales y de signo contrario). Sumando un polinomio a su opuesto, el resultado es el polinomio nulo:
    Elemento simétrico en la suma de polinomios

Cómo sumar polinomios

Hay dos dos procedimientos: sumar en fila y sumar en columna o forma vertical.

  • Sumar en fila:

    Sumar en fila o en horizontal polinomios consiste en:

    1. Ordenar los polinomios de mayor a menor grado y escribirlos sucesivamente encerrados entre paréntesis unidos por el signo más.
    2. Agrupar los términos semejantes (misma parte literal).
    3. Reducir los términos semejantes, sumando aritméticamente sus coeficientes.
      Suma de los polinomios en filas
  • Sumar en columna o forma vertical:

    Sumar en columna polinomios consiste en:

    1. Ordenar los polinomios de mayor a menor grado. Colocar un polinomio debajo del anterior.
    2. Si en algún polinomio es incompleto y falta algún termino de algún grado, los polinomios se escribirán de manera que en cada columna coincidan los términos semejantes de cada uno.
    3. Sumar los monomios semejantes. El polinomio suma será la fila inferior.
      Suma de los polinomios en columnas

Ejercicio

Realizar la suma de estos tres polinomios con dos variables.

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Por mayor sencillez, haremos la suma en columna, o en vertical. La mecánica es la misma que con una variable. Los polinomios ordenados de índice mayor a menor respecto a una de las variables (aquí tomamos la x), dejando los huecos oportunos para que en cada columna hayan términos semejantes:

Solución del ejercicio 1

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