La suma de polinomios es otro polinomio resultado de reducir sus términos semejantes presentes en los polinomios sumandos.
En esos términos semejantes, se suman los coeficientes y se deja la parte literal.
El grado del polinomio suma es igual al del polinomio sumando de mayor grado.
Propiedades de la adición de polinomios
Teniendo polinomios cualquiera P(x), Q(x) o R(x), en su suma se cumplen estas propiedades:
- Propiedad asociativa: la suma no varía si asociamos sumandos.
- Propiedad conmutativa: el orden de los polinomios sumandos no altera el resultado:
- Elemento neutro: el polinomio nulo es el que todos los coeficientes son iguales a cero. Su grado también es cero:
Y, para cualquier polinomio P(x), se cumple que:
De tal manera que, sumándole a cualquier polinomio P(x) el polinomio nulo O(x), el resultado es el polinomio mismo P(x).
- Elemento simétrico: Es el polinomio N(x) opuesto a M(x) (sus ´terminos tienen la misma parte literal, pero lo coeficientes correspondientes son iguales y de signo contrario). Sumando un polinomio a su opuesto, el resultado es el polinomio nulo:
Cómo sumar polinomios
Hay dos dos procedimientos: sumar en fila y sumar en columna o forma vertical.
- Sumar en fila:
Sumar en fila o en horizontal polinomios consiste en:
- Ordenar los polinomios de mayor a menor grado y escribirlos sucesivamente encerrados entre paréntesis unidos por el signo más.
- Agrupar los términos semejantes (misma parte literal).
- Reducir los términos semejantes, sumando aritméticamente sus coeficientes.
- Sumar en columna o forma vertical:
Sumar en columna polinomios consiste en:
- Ordenar los polinomios de mayor a menor grado. Colocar un polinomio debajo del anterior.
- Si en algún polinomio es incompleto y falta algún termino de algún grado, los polinomios se escribirán de manera que en cada columna coincidan los términos semejantes de cada uno.
- Sumar los monomios semejantes. El polinomio suma será la fila inferior.
Ejercicio
Realizar la suma de estos tres polinomios con dos variables.
Solución:
Por mayor sencillez, haremos la suma en columna, o en vertical. La mecánica es la misma que con una variable. Los polinomios ordenados de índice mayor a menor respecto a una de las variables (aquí tomamos la x), dejando los huecos oportunos para que en cada columna hayan términos semejantes:
