La factorización de trinomios consiste en convertirlos en un producto de factores que pueden ser monomios y binomios irreducibles.
Para factorizar trinomios se pueden emplear procedimientos de factorización de polinomios:
Factor común
Cuando hay una expresión algebraica, con parte literal o no, que se repite como factor en cada término del trinomio, se toma como factor común:
Luego se sigue factorizando por otros procedimientos.
Factorizar trinomios de segundo grado
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de desarrollar un binomio al cuadrado. Este cuadrado de binomios sería su factorización.
Hay trinomios de segundo grado que no siendo cuadrados perfectos, se pueden factorizar.
Trinomios de la forma ax² +bx +c
Los trinomios de forma ax² +bx +c se pueden usar estos procedimientos equivalentes:
- Con la fórmula cuadrática se hallan las raíces x1 y x2. La factorización se quedaría así, ilustrada con un ejemplo:
Siendo el discrimintante y las soluciones:
Y la factorización quedaría como:
Y el ejemplo, igualando el trinomio a 0. Con la fórmula cuadrática se hallan las raíces:
- Se buscan dos números enteros m y n de manera que m ·n = ac y que m + n = b. Luego, con la propiedad distributiva, factorizar. Se deben buscar m y n entre los divisores de ac. Aplicación de este procedimiento con el mismo trinomio anterior. (Primero se multiplican los tres términos por a y, después de factorizar, se vuelve a dividir por a:
Se ha llegado a la misma factorización.
- Buscar dos números enteros m y n tal que m · n = c y que m + n = b, separando el término de primer grado en dos sumandos. Luego, agrupar y empleando luego la propiedad distributiva, factorizar. Volvemos a realizar el ejercicio con el mismo trinomio anterior:
Obteniendo la misma factorización.
Trinomios de la forma x² +bx +c
Los trinomios de forma x² +bx +c se resuelven de la misma forma que los vistos arriba del tipo ax² +bx +c, con la salvedad de que el coeficiente a es la unidad.
Veamos los tres procedimientos con ejemplos:
- Con la fórmula cuadrática:
- Se buscan dos números enteros, m y n, de manera que m · n = c y que m + n = b:
Se ha llegado a la misma factorización.
Para factorizar trinomios cuadráticos, cuando el término libre c es positivo, los números m y n deben tener el mismo signo. Pero si c es negativo, m y n tendrán el signo contrario, correspondiendo al número más grande el signo de c.
Trinomios irreducibles
Un trinomio irreducible o polinomio primo o no factorizable es aquel que tiene coeficientes enteros y no puede descomponerse en factores. No tiene raíces enteras.
Por ejemplo, este trinomio es irreducible:
El discriminante de su ecuación cuadrática es negativo.
Factorización de trinomios de grado superior a dos
Para estos tipos de trinomios, lo ideal es utilizar la regla de Ruffini.
Las raíces enteras solamente están entre los divisores del término independiente del polinomio.
Ejercicio
Encontrar la factorización del siguiente trinomio:
Solución:
Entre los divisores del término independiente 4, que son ±1, ±2 y ±4 aplicamos la regla, y el trinomio factorizado es:
