Los trinomios son expresiones algebraicas formadas por tres términos algebraicos o monomios unidos por sumas o restas.
Es decir, un trinomio es un polinomio con tres términos.
- Ejemplos de trinomios
- Trinomio al cuadrado
- Trinomio al cubo
- Tipos de trinomios
- Trinomio cuadrado perfecto
- Trinomio de segundo grado de una variable
- Suma y diferencia de cubos
- Binomios con término común
- Ejercicios
Ejemplos de trinomios
A continuación, veamos ejemplos de polinomios con tres términos:
Que pueden tener una o varias variables.
Trinomio al cuadrado
El trinomio al cuadrado (o cuadrado de un trinomio) (a + b + c)² es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero.
No hay que confundir el trinomio al cuadrado con el trinomio cuadrado perfecto, que es el desarrollo de un binomio al cuadrado (a + b)².
En general, el cuadrado de un polinomio (a + b + … + n)² es la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más los doble productos de cada término por cada uno de los términos siguientes.
Trinomio al cubo
El trinomio al cubo (o cubo de un trinomio) es igual a la suma de los cubos de sus tres términos, más el triplo de la suma de los productos de los cuadrados de cada término por los dos restantes, más seis veces el producto de los tres términos.
La fórmula del trinomio elevado a tres es:
Esta fórmula se puede obtener por las reglas de multiplicación de polinomios y por la fórmula del trinomio al cuadrado. No es otra cosa que multiplicar el trinomio por sí mismo tres veces.
Los signos resultantes entre los términos del cubo del trinomio dependerán de la regla de signos en las multiplicaciones de los términos. Se verá en los ejemplos.
Tipos de trinomios
Estos son casos particulares en trinomios:
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de desarrollar un binomio al cuadrado. Este es un caso particular de producto notable.
De los tres términos de este trinomio, dos son positivos, resultado del cuadrado de los dos términos del binomio al cuadrado buscado. El tercer término es el doble del producto de estos dos términos, afectado por el signo que los separa.
Por tanto, existen dos casos:
- En el trinomio los tres elementos son positivos. El binomio al cuadrado es en este caso el cuadrado de una suma.
- En el trinomio, dos términos son positivos y el otro negativo. En este caso, el binomio al cuadrado el cuadrado de una diferencia.
Veamos algún ejemplo:
Trinomio de segundo grado de una variable
Esta es la expresión típica de trinomios de segundo grado y con una variable, la incógnita x. a, b y c son números.
Al igualarlo a cero, resulta una ecuación de segundo grado.
Se factoriza hallando sus raíces mediante la fórmula cuadrática:
Resultando:
Trinomio prodecente del producto de dos binomios con término común
Es el resultado del producto de dos binomios que tienen un término igual en ambos, siendo el otro término diferente.
El cuadrado del término común, más la suma de los monomios no comunes multiplicada por el término común, más el producto de los términos no comunes. Como se ve en este desarrollo, se obtiene ese trinomio:
Trinomio de grado par de una variable
Es el un trinomio del tipo:
Los dos índices son pares y el índice de mayor grado es el doble del índice del otro término con la variable.
Como este caso de trinomio de octavo grado.
Con este cambio de variable e igualando a cero, tendríamos una ecuación de segundo grado.
Mediante la fórmula cuadrática. se llegaría a las raíces 1 y 16. Deshaciendo el cambio de variable se obtendrían las raíces del trinomio original, pudiéndose entonces factorizar.
Trinomio irreducible
Un trinomio irreducible o polinomio primo o no factorizable es aquel que tiene coeficientes enteros y no puede descomponerse en factores. No tiene raíces enteras.
Por ejemplo, este trinomio es irreducible:
El discriminante de su ecuación cuadrática es negativo.
Ejercicios
Ejercicio 1
Desarrollar el cuadrado de este trinomio:
Solución:
Se desarrolla el cuadrado, se unifican términos semejantes y se ordenan los índices:
Ejercicio 2
Hallar el cubo de este trinomio.
Solución:
Ejercicio 3
Comprobar que este trinomio es cuadrado perfecto y factorizarlo:
Solución:
Se comprueba que el primer monomio es el cuadrado de 3x, el segundo monomio es el cuadrado de 3 y el tercer término o monomio es el doble producto del primero por el segundo, con el signo positivo en este caso, luego:
La expresión conseguida es el producto de dos binomios iguales o cuadrado de un binomio, que será el polinomio factorizado.