El binomio de Newton, o teorema del binomio es un procedimiento que desarrolla la potencia de un binomio a un índice positivo cualquiera n.
Fórmula del Binomio de Newton
Al desarrollo del teorema del binomio se puede llegar por dos procedimientos:
- Con el algoritmo o fórmula que lo desarrolla, llamada teorema generalizado del binomio.
Cuando se trata de la potencia de un binomio resta, la fórmula es:
Llevan signo negativo los términos con potencias impares del segundo término b. Como en el ejemplo:
Y ésta es la expresión de un número combinatorio que refleja las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k. Con un ejemplo:
- Con el triángulo de Pascal, llamado también triángulo de Tartaglia, se obtienen también los coeficientes de cada desarrollo a partir de la fila n + 1 del binomio de Newton (a + b)n.
El triángulo de Pascal es infinito y simétrico. El vértice es un 1. La segunda fila son dos unos. En las filas siguientes, cada número es la suma de los dos de la fila superior, Y así, sucesivamente. (A izquierda y derecha del triángulo hay un cero).
Por ejemplo, un binomio elevado a la cuarta potencia, obteniendo los coeficientes del triángulo de Pascal:
Ejercicios
Ejercicio 1
Desarrollar esta potencia cuarta de un binomio resta con el algoritmo de Newton:
Ejercicio 2
Desarrollar esta potencia obteniendo los coeficientes a partir del triángulo de Pascal:
Solución:
Los coeficientes del desarrollo de una potencia de índice n = 5 se obtienen de la sexta fila (5 + 1) del triángulo de Pascal:
Y la quinta potencia de este binomio, desarrollada conociendo el algoritmo, es: