Binomio de Newton

El binomio de Newton, o teorema del binomio es un procedimiento que desarrolla la potencia de un binomio a un índice positivo cualquiera n.

Expresión del binomio de Newton

Fórmula del Binomio de Newton

Al desarrollo del teorema del binomio se puede llegar por dos procedimientos:

  • Con el algoritmo o fórmula que lo desarrolla, llamada teorema generalizado del binomio.
    Desarrollo del binomio de Newton

    Cuando se trata de la potencia de un binomio resta, la fórmula es:

    Desarrollo del teorema del binomio con el binomio resta

    Llevan signo negativo los términos con potencias impares del segundo término b. Como en el ejemplo:

    Ejemplo del binomio de Newton

    Y ésta es la expresión de un número combinatorio que refleja las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k. Con un ejemplo:

    Expresión de un número combinatorio
  • Con el triángulo de Pascal, llamado también triángulo de Tartaglia, se obtienen también los coeficientes de cada desarrollo a partir de la fila n + 1 del binomio de Newton (a + b)n.
    Dibujo del triangulo de Pascal

    El triángulo de Pascal es infinito y simétrico. El vértice es un 1. La segunda fila son dos unos. En las filas siguientes, cada número es la suma de los dos de la fila superior, Y así, sucesivamente. (A izquierda y derecha del triángulo hay un cero).

    Por ejemplo, un binomio elevado a la cuarta potencia, obteniendo los coeficientes del triángulo de Pascal:

    Ejemplo del binomio de Newton por el triángulo de Pascal

Ejercicios

Ejercicio 1

Desarrollar esta potencia cuarta de un binomio resta con el algoritmo de Newton:

Enunciado del ejercicio 1 del teorema del binomio

Ejercicio 2

Desarrollar esta potencia obteniendo los coeficientes a partir del triángulo de Pascal:

Enunciado del ejercicio 2 por el triángulo de Pascal

Solución:

Los coeficientes del desarrollo de una potencia de índice n = 5 se obtienen de la sexta fila (5 + 1) del triángulo de Pascal:

Cálculo de los coeficientes del ejercicio 2

Y la quinta potencia de este binomio, desarrollada conociendo el algoritmo, es:

Solución del ejercicio 2

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