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Asíntota horizontal

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Una recta es una asíntota horizontal de una función f(x) si cumple al menos una de las siguientes condiciones (límite finito en el infinito):

Condición para ser una asíntota horizontal

Como máximo, una función puede tener dos asíntotas horizontales, una a la derecha (límite a +∞) y otra a la izquierda (límite a -∞).

La ecuación de una asíntota horizontal es:

Ecuación de una asíntota horizontal

Lo más frecuente es que la misma asíntota sea a la vez la de la de la rama derecha de la función y la de la izquierda. Por ejemplo en esta función racional con única asíntota horizontal y = 1.

Dibujo de la asíntota horizontal en una función racional

Sin embargo, en funciones con radicales pueden aparecer dos asíntotas horizontales diferentes, como en la figura:

Dibujo de una función con dos asintotas horizontales

En algunos casos, una asíntota horizontal puede cortar a la gráfica de su función en uno o más puntos:

Dibujo de una asíntota horizontal que corta a la función

Ejemplo

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Averiguar las posibles asíntotas horizontales de la siguiente función y la posición de la gráfica de la función respecto a esas posibles asíntotas horizontales:

Fórmula del ejemplo 1 de asíntota horizontal

En primer lugar vemos la función si tiene límites en ±∞:

Cálculo del límite infinito en el ejemplo 1 de asíntota horizontal

El límite en +∞ es 0, por comparación de órdenes de infinito. El orden de infinito es mayor en el denominador. Ahora se halla el posible límite en -∞

Cálculo del límite en menos infinito en el ejemplo 1 de asíntota horizontal

El límite en -∞ no existe porque hay una raíz cuadrada de una cantidad negativa.

Existe la asíntota horizontal por la derecha (recta y = 0) mientras que la asíntota horizontal por la izquierda no existe.

Se estudia ahora la posición de la asíntota respecto de la curva.

Para ello, se le asigna un valor alto y positivo a la variable en la función (para acercarnos a +∞):

Cálculo de la posición de la curva en el ejemplo 1 de asíntota horizontal

Como el valor es superior al del límite, la curva está arriba de la asíntota, como se ve en la figura.

Dibujo del ejemplo 1 de una asíntota horizontal

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