Cálculo de límites

En el cálculo de límites, hay que tener en primer lugar las propiedades de los límites.

Tenemos a continuación una tabla con operaciones cuando el cálculo se efectúa con valores de límites de ∞ o con un número, incluido el 0. Estos cálculos son sobre el valor del límite, no se trata de operaciones con números, porque ∞ no lo es. Cuando los signos son evidentes, se omiten. (En las líneas con dos ±, debe entenderse que o se usa el + en los dos casos o el – también en ambos).

El primer paso para intentar resolver un límite cuando la variable x tiende al valor a consiste en substituir directamente la variable x por el valor del límite a. Entonces ver el resultado, sin otra consideración.

Es decir, que en una función de tipo usual, como en una función continua, y está definida en el entorno del límite a, lo esperable es que directamente sea:

Como es este caso:

En cambio, no existe este límite:

Y es que la función no está definida en el entorno de -3, porque -3 no está en el campo de existencia de la función, el cual está restringido al subconjunto de los reales positivos.

Si en esa substitución se llega a un caso de indeterminación, se tratará de resolver según el tipo de indeterminación de que se trate.

Una técnica muy potente para resolver determinadas indeterminación> es la regla de L’Hôpital.

Se disponen de técnicas para resolver límites.

La primera es la factorización.

Veamos un ejemplo de resolución por factorización.

La factorización, en el primer caso ha sido por factor común, en el segundo, por diferencia de cuadrados y en el tercero, hallando las raíces de un polinomio de segundo grado.

Para calcular el límite de una función con radicales, se multiplica el término con la raíz por su conjugado (suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados).

Veamos este límite (que sería una indeterminación 0/0:

Esta función no está definida en x=2.

Se multiplica el numerador y el denominador por el término conjugado del que contiene la raíz. Se opera, se simplifica y se substituye la x por el valor del límite:

El valor de este límite es 4/3.

Como se ve en la figura:

Si se da el caso, un cálculo muy eficaz del límite se hará por funciones equivalentes.

Este es un ejemplo de Cálculo de límites por infinitésimos equivalentes:

Y este un ejemplo de Cálculo de límites por órdenes de infinito:

Límite de funciones exponenciales

Para ver el límite de funciones exponenciales, veamos primero este tipo de funciones.

Una función exponencial es del tipo: f(x) = k^x, siendo k un número positivo diferente de 1.

La variable de la función está en el exponente.

Si k és mayor que 1 (k > 1), la función exponencial es continua y estrictamente creciente en el dominio de los números reales. Si, por el contrario, k és menor que 1 (k < 1), la función es estrictamente decreciente.

Podemos decir que los límites notables de estas funciones exponenciales son:

• Para k > 1:
  
• Para 0 < k < 1:
  

Límite de funciones logarítmicas

Para ver el límite de funciones logarítmicas, veamos primero este tipo de funciones.

Una función logarítmica es del tipo: f(x) = log_ax. Se verifica que:

Es la función inversa a la función exponencial a^x. Por eso, sus gráficas son simétricas:

La función logarítmica es continua y estrictamente creciente en el dominio de los números reales positivos, el intervalo (0, +∞). Su codominio son los números reales (-∞, +∞).

Podemos decir que límites notables de estas funciones logarítmicas son:

Límites indeterminados (indeterminaciones)

Los límites indeterminados (o indeterminaciones) no indican que el límite no exista, sino que no se puede anticipar el resultado.

Se tendrán que hacer operaciones adicionales para eliminar la indeterminación y averiguar entonces el valor del límite (en el caso de que exista). Ese valor puede ser un número finito, incluido el cero, o +∞ o bien -∞.

Aparecen indeterminaciones cuando, al sustituir la variable (x) de la expresión por el valor del límite al que tiende ésta, se convierte en uno de los casos siguientes:

Pero no serán indeterminaciones cuando, al realizar la sustitución mencionada de la variable por el valor de su límite, aparecen resultados como estos, siendo m un valor finito diferente de cero:

El siguiente límite, por ejemplo, es indeterminado:

Por el contrario, este límite no tiene indeterminación:

Límites indeterminados infinito partido por infinito

La indeterminación ∞ / ∞ se puede resolver dividiendo el numerador y el denominador por el mayor grado de la variable.

Pueden haber tres casos de este tipo de límites indeterminados:

1. Que el mayor grado en el numerador sea mayor que el mayor grado del denominador. En este caso, el límite es o +∞ o -∞.
   

   Como se ve en la imagen:

   
2. Que el mayor grado en el numerador sea igual que el del denominador. La solución es el cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y del denominador:
   

   Como se ve en la imagen:

   
3. El tercer caso es que el mayor grado en el numerador sea menor que el del denominador. En este caso, el límite es cero.
   

   Como se ve en la imagen:

   

Los límites indeterminados del siguiente tipo requieren la aplicación de la regla de L’Hôpital:

Al existir sus derivadas, aplicamos L’Hôpital, derivando numerador y denominador:

Como se llega a la misma indeterminación, aplicamos por segunda vez la regla de L’Hôpital. Derivamos, resolvemos y hallamos el límite:

Como se ve en la gráfica:

Límites indeterminados infininito menos infinito

En los límites indeterminados del tipo ∞ – ∞ suelen ser del tipo f(x) – g(x), es decir, la resta de dos funciones.

Tratamos de ver si uno de los términos infinitos es de un orden mayor.

Una potencia de mayor exponente será el término mayor (x⁴ > x²).

El término mayor de un polinomio es mayor que un logaritmo (x² > ln x³).

Entre dos funciones exponenciales, la mayor será la que lo sea su base (5^x > 4^x).

Por tanto, si en una indeterminación ∞ – ∞ uno de los dos términos es de orden mayor, el límite será ± ∞ (el signo lo determinará si el término de orden mayor es el minuendo o el sustraendo.

Veámoslo en los casos anteriores:

Pero si el orden de los dos términos fuera el mismo, habría que realizar otro procedimiento.

Veamos un ejemplo con términos del mismo orden (en este caso el orden es 1). Reducimos a común denominador y simplificamos:

Como se ve en la figura, el límite es 0, tanto si la x tiende a +∞ como si tiende a -∞.

Otros casos requieren realizar otros pasos, como el seguiente en que, al haber un radical, se debe multiplicar y dividir por el término conjugado.

En este caso el límite es a +∞, porque un infinito negativo en una raíz cuadrada sería irracional.

Por las reglas del orden de los términos, podemos anticipar que el límite va a ser +∞, porque el orden del primer término es 1 y el orden del segundo término es ½ al estar encerrada la x en una raíz cuadrada. Pero vamos a operar como hemos dicho, multiplicando y dividiendo por su término conjugado.

Hemos llegado a un límite indeterminado infinito partido por infinito, ∞/∞, que se resuelve dividiendo numerador y denominador por el término de mayor exponente.

Como vemos en la siguiente gráfica:

Con lo que se ha eliminado la indeterminación del límite llegando al valor de +∞ como habíamos anticipado.

Otros límites indeterminados del mismo tipo, ∞ – ∞ se pueden resolver aplicando la regla de L’Hôpital. Como éste:

Al sustituir el valor 0 del límite en la x llegamos a una indeterminación ∞ – ∞. En primer lugar, mediante el común denominador, transformamos la expresión de una resta a un cociente:

Al volver a sustituir 0 por x, se ha transformado en un límite indeterminado de la forma 0/0. Podemos aplicar ahora la regla de L’Hôpital, derivando por separado el numerador y el denominador:

Como vuelve a aparecer otro límite indeterminado 0/0 al reemplazar de nuevo la x, se aplica otra vez la regla de L’Hôpital y se resuelve el límite:

Como se ve en la figura, el valor del límite es cero:

Límites indeterminados cero partido por cero

Los límites indeterminados cero partido por cero en funciones racionales se pueden resolver descomponiendo en factores y simplificando. También, especialmente cuando hay raíces, multiplicando y dividiendo por el binomio conjugado del término que tenga la raíz.

Veamos los dos casos:

El límite de una fracción de funciones racionales que dé una indeterminación del tipo 0/0 se resolverá descomponiendo en factores el numerador y el denominador. Después, simplificar y resolver:

Como se ve en la figura:

Otro ejemplo de descomposición en factores similar al anterior:

Como se ve en la figura:

El otro caso es cuando tenemos límites indeterminados 0/0 en funciones irracionales, con radicales. Se podría resolver multiplicando y dividiendo numerador y denominador por el binomio conjugado del término en donde esté la raíz.

Veamos un ejemplo:

Como se ve en la gráfica:

Este de abajo es un límite indeterminado que se resuelve aplicando la regla de L’Hôpital:

Son derivables numerador y denominador. Por tanto, derivamos y resolvemos:

Como vemos en la siguiente gráfica:

Límites indeterminados constante partido por cero

Un número real dividido por cero en aritmética es una operación que no arroja un resultado definido. En cambio, en cálculo, si el límite de una expresión llega a un número entre cero (k / 0), tendremos un caso que podríamos calificar como indeterminación que sí que podría ser resuelta.

Ese límite puede ser +∞, -∞ o, simplemente, no existir un límite.

Veremos en los ejemplos expuestos, que en los límites en los que se llega a k / 0 (donde k es una constante), el valor al que tiende la x no existe en el dominio de la función. La función no está definida en ese punto.

La operativa es comprobar los límites laterales. Si nos acercamos mucho al límite por la izquierda, y, a su vez, al límite por la derecha, veremos que en el numerador tenemos un número, positivo o negativo y en el denominador un número cada vez más próximo a cero, que puede también ser positivo o negativo. Según los signos el resultado de ambos límites laterales puede ser +∞ o -∞. Si ambos límites laterales coinciden, el límite existe (esta es una condición necesaria para la existencia de cualquier límite en un punto).

Al contrario, si uno de los límites laterales da +∞ y el otro -∞, el límite no existe.

Este último sería el caso de las asíntotas verticales divergentes.

Límites indeterminados cero por infinito

Usualmente ocurren en el producto de funciones del tipo:

Habitualmente, pueden resolverse operando, factorizando, simplificando y resolviendo.

Las raíces del primer polinomio son (+4, -1).

Operamos:

Como se ve en la figura:

Otro caso es:

En un primer paso, se introduce el primer término dentro del radical, convirtiéndose en otro tipo de indeterminación. Operamos:

Dividimos por el término de mayor potencia y resolvemos:

Como se ve en la figura:

Otro tipo de límites con indeterminación 0 · ∞ requieren de la aplicación de la regla de L’Hôpital. Este es un caso:

Para aplicar la regla de L’Hôpital se necesita convertir la expresión en un cociente para llegar a una indeterminación ∞/∞ o 0/0, por lo que se hace la transformación:

Se ha llegado a otro límite indeterminado 0/0, al que se le puede aplicar la regla de L’Hôpital, derivando numerador y denominador por separado y obteniendo el límite buscado:

Como se ve en la grafica:

Límites indeterminados uno elevado a infinito

Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, 1^∞, ∞⁰ y 0⁰, que se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación:

Puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, según lo que se acaba de decir, podemos hacer:

Por una de las propiedades de los límites: el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:

Por una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente de este tipo de expresiones: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

La transformación, a la que llamaremos (1), queda:

Los límites indeterminados del tipo 1^∞ son los límites exponenciales en los que la base tiende a 1 y el exponente tiende a ∞.

Son de los llamados límites del tipo e.

Para resolver límites indeterminados, en concreto del tipo 1^∞, se puede aplicar la propiedad siguiente:

Retengamos esta propiedad, porque es muy útil para resolver estos límites exponenciales.

Límites indeterminados infinito elevado a cero

Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, 1^∞, ∞⁰ y 0⁰ se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación (1):

Se verifica, puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, por tanto, podemos hacer:

Por una de las propiedades de los límites, el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:

Por otra de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

En total, la transformación, que llamaremos (1), queda:

Límites indeterminados cero elevado a cero

Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados son de estos tres tipos: 0⁰, 1^∞ y 0^∞ se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación:

Se verifica, puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, por tanto, podemos hacer:

Por una de las propiedades de los límites: el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite.

Por una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

En total, la transformación, que llamaremos (1), queda:

Regla de l’Hôpital

La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que den indeterminación, especialmente los casos más complejos, exponenciales o términos no racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites indeterminados, realizando transformaciones para llegar a una de los tipos anteriores. La regla de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer bien la técnica de la derivación>.

Aplicación de la regla de L’Hôpital

Si dos funciones f(x) y g(x) continuas en un intervalo que contiene el punto a toman los valores f(a) = g(a) = 0, se verifica que:

Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y en el denominador.

Es una indeterminación del tipo 0/0.

Entonces se verifica que:

Siempre que exista el límite en a de f’/g’ y que g’(x) ≠ 0 en cualquier punto del intervalo diferente de a. (El que no exista el límite f’/g’ no excluye que pudiera existir el límite de f/g).

El valor del límite en a puede ser cualquiera en el intervalo derivable de ambas funciones, incluyendo +∞ y -∞.

La regla de L’Hôpital se puede aplicar también directamente a límites laterales y a límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del enunciado inicial se puede hacer la transformación:

En los límites que den indeterminaciones exponenciales del tipo 1^∞, 0^0; o ∞⁰, mediante transformaciones basadas en las propiedades de los límites y de los logaritmos, llegar a una indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le podría aplicar la regla de L’Hôpital.

Límites de funciones definidas a trozos

Los límites de las funciones definidas a trozos requieren conocer en qué consisten este tipo de funciones.

Las funciones definidas a trozos (o función a trozos o función por partes) son aquellas que tienen distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentre la variable independiente (x).

Ejercicio

Por ejemplo:

En el cálculo de límites hay una serie de procedimientos adecuados a cada caso. Pero en una función definida a trozos, hay que saber en cuál de los trozos o tramos está el valor al que tiende la variable independiente (x → a). Especialmente hay que ver si a se encuentra en el punto entre dos trozos (o punto de ruptura).

De la función del ejemplo anterior, vamos a hallar los límites correspondientes a diferentes valores.

Para valores de x < 1, por ejemplo a = -1.

Como -1 está en el primer trozo, sustituimos en la x de la primera expresión analítica de la función el valor de -1:

Ahora el valor del límite de esta función cuando x → 1. Como el valor 1 de la variable se encuentra en un punto de ruptura, es decir, entre dos trozos de la función, deberemos hallar sus límites laterales.

En primer lugar, el límite lateral, cuando x se acerca al punto de ruptura 1 por su izquierda.

Sustituimos el valor 1 en la expresión analítica del primer trozo, que es el que se encuentra a la izquierda de x = 1:

El límite por la izquierda en este punto es 1.

Hallamos el límite lateral por la derecha para el punto de ruptura 1:

El límite por la derecha en este punto es 2.

Como los dos límites laterales son diferentes, el límite de esta función cuando x → 1 no existe.

Vamos a dejar los límites de otros puntos, por evidentes, y vamos a hallar, por el mismo procedimiento el límite en el segundo punto de ruptura (para x = 4), es decir, entre dos trozos. Para ello, haremos lo mismo calculando sus límites laterales.

Límite lateral por la izquierda:

El límite lateral por la izquierda en este punto de ruptura es 2.

Hallamos el límite lateral por la derecha para el punto de ruptura 4:

El límite por la derecha en este punto es 1.

Como los dos límites laterales son diferentes, el límite de esta función cuando x → 4 tampoco existe.

Cálculo de límites por funciones equivalentes

Dos funciones f(x) y g(x) son equivalentes en a si se cumple la condición:

Y se escribe así:

O, dicho de otra manera, el límite de su cociente es 1. (O, también, que ambas funciones deben tener el mismo límite en a).

El valor de a puede ser cualquier número real o ±∞.

Ejercicio

Pongamos un ejemplo:

Las dos funciones, en el numerador y la del denominador, son equivalentes en +∞.

La equivalencia de funciones tiene utilidad en matemáticas en el caso de funciones equivalentes en las que su límite en x → a sea 0 (infinitésimos equivalentes) o en las funciones equivalentes en las que su límite en x → a sea +∞ o -∞(infinitos). Facilita el cálculo de indeterminaciones.

Deben sustituirse funciones equivalentes (infinitésimos o infinitos) en productos o cocientes de funciones, no en su suma o resta, ya que serían indeterminaciones.

Por lo tanto, si f y g son equivalentes en a y una de ellas en un límite en el valor a está como factor o bien como numerador o denominador, entonces f (o g) se puede substituir por la otra función equivalente.

Es decir: