Asíntota oblicua

La asíntota oblicua de una función f(x) son rectas con ecuación y = px + q que existirán si se cumple que hayan, al menos, uno de estos dos límites:

En el primer caso, se dice que existe asíntota oblicua por la derecha (o asíntota oblicua en +∞).

En el segundo caso, se dice que existe asíntota oblicua por la izquierda (o asíntota oblicua en -∞).

Necesitamos, en cada caso, saber la ecuación de la recta de cada asíntota oblicua. Hay que averiguar el parámetro p (pendiente de la recta) y el q (punto de corte con el eje de ordenadas).

El cálculo de la pendiente p se obtiene de uno de estos dos límites:

Dependiendo del valor de p obtenido puede ocurrir que.

1. Si p es un número real diferente de cero, existe asíntota oblicua. Cuando p > 0, la pendiente es positiva y la asíntota va en la dirección del primer al tercer cuadrante de los ejes de coordenadas. Si p < 0, la pendiente es negativa y la asíntota va en la dirección del segundo al cuarto cuadrante.
2. Si el valor de p = ±∞ no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola vertical.
3. Si el valor de p = 0; no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola horizontal.

Punto de corte de la asíntota con el eje de ordenadas, q.

Si p calculado anteriormente es un número real diferente de cero, el parámetro q se obtiene mediante este límite:

Si este límite es finito, existe la asíntota oblicua. Pero si el límite fuese infinito, no hay asíntota y sí rama parabólica.

Una función no puede tener asíntotas horizontales y, a la vez, oblicuas.

Las funciones polinómicas racionales con asíntota oblicua tienen un grado más en el numerador que en el denominador.

Una asíntota oblicua puede cortar a la gráfica de la función en uno o más puntos.

Ejemplo 1

Hallar, si existen, las asíntotas oblicuas de la función:

En primer lugar descartamos que existan asíntotas horizontales (incompatibles con las oblicuas):

El límite es infinito, por lo que no existen asíntotas horizontales. Podemos ver el parámetro p (pendiente) de la recta de la posible asíntota oblicua mediante el valor del límite:

Como el límite tiene un valor finito y ≠ 0, p = 1, existe una asíntota oblicua.

Se averigua ahora el punto q, de corte con el eje Y, mediante este límite:

La ecuación de la asíntota oblicua, de pendiente positiva, de esta función es:

Como se ve en la figura:

Ejemplo 2

Hallar, por el procedimiento descrito en esta página, las ecuaciones de la hipérbola que aparece en el ejercicio de la página de Universo Fórmulas asíntotas de una hipérbola.

En este ejercicio, los parámetros de la hipérbola son a = 2 y b = 4.

La ecuación de la hipérbola será:

De la que despejamos la y:

Mediante el límite siguiente se descartan las asíntotas horizontales, para que puedan existir las oblicuas:

No hay asíntotas horizontales, porque el límite es infinito. Vamos a ver la pendiente p de la/las asíntotas oblicua/s:

Porque es el límite de una razón polinómica con el mismo orden en el numerador y el denominador.

Existen dos asíntotas oblicuas porque los valores de sus pendientes p ± 0. Hallaremos el punto q de intersección con el eje Y:

El valor de este límite (de q) es 0. Se llega a él después de una indeterminación ∞ – ∞ que ya se ha mostrado su resolución en el enlace correspondiente.

Por lo tanto, las ecuaciones de las asíntotas oblicuas buscadas son:

Se ha llegado al mismo resultado que en el ejercicio de la página de Universo Formulas asíntotas de una hipérbola.