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Asíntota oblicua

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La asíntota oblicua de una función f(x) son rectas con ecuación y = px + q que existirán si se cumple que hayan, al menos, uno de estos dos límites:

Condición para ser una asíntota oblicua

En el primer caso, se dice que existe asíntota oblicua por la derecha (o asíntota oblicua en +∞).

En el segundo caso, se dice que existe asíntota oblicua por la izquierda (o asíntota oblicua en -∞).

Necesitamos, en cada caso, saber la ecuación de la recta de cada asíntota oblicua. Hay que averiguar el parámetro p (pendiente de la recta) y el q (punto de corte con el eje de ordenadas).

El cálculo de la pendiente p se obtiene de uno de estos dos límites:

Cálculo de la pendiente en una asíntota oblicua

Dependiendo del valor de p obtenido puede ocurrir que.

  1. Si p es un número real diferente de cero, existe asíntota oblicua. Cuando p > 0, la pendiente es positiva y la asíntota va en la dirección del primer al tercer cuadrante de los ejes de coordenadas. Si p < 0, la pendiente es negativa y la asíntota va en la dirección del segundo al cuarto cuadrante.
  2. Si el valor de p = ±∞ no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola vertical.
  3. Si el valor de p = 0; no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola horizontal.
Dibujo del punto de corte con el eje de ordenadas en la asíntota oblicua

Punto de corte de la asíntota con el eje de ordenadas, q.

Si p calculado anteriormente es un número real diferente de cero, el parámetro q se obtiene mediante este límite:

Cálculo del parámetro q en una asíntota oblicua

Si este límite es finito, existe la asíntota oblicua. Pero si el límite fuese infinito, no hay asíntota y sí rama parabólica.

Una función no puede tener asíntotas horizontales y, a la vez, oblicuas.

Las funciones polinómicas racionales con asíntota oblicua tienen un grado más en el numerador que en el denominador.

Dibujo de una asíntota oblicua en funciones polinómicas

Una asíntota oblicua puede cortar a la gráfica de la función en uno o más puntos.

Dibujo de los puntos de corte de una función y una asíntota oblicua

Ejemplo 1

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Hallar, si existen, las asíntotas oblicuas de la función:

Fórmula del ejemplo 1 de asíntota oblicua

En primer lugar descartamos que existan asíntotas horizontales (incompatibles con las oblicuas):

Cálculo de una asíntota horizontal en el ejemplo 1 de asíntota oblicua

El límite es infinito, por lo que no existen asíntotas horizontales. Podemos ver el parámetro p (pendiente) de la recta de la posible asíntota oblicua mediante el valor del límite:

Cálculo del parámetro p en el ejemplo 1 de asíntota oblicua

Como el límite tiene un valor finito y ≠ 0, p = 1, existe una asíntota oblicua.

Se averigua ahora el punto q, de corte con el eje Y, mediante este límite:

Cálculo del corte con el eje Y en el ejemplo 1 de asíntota oblicua

La ecuación de la asíntota oblicua, de pendiente positiva, de esta función es:

Cálculo de la ecuación en el ejemplo 1 de asíntota oblicua

Como se ve en la figura:

Dibujo de la figura del ejemplo 1 de asíntota oblicua

Ejemplo 2

Hallar, por el procedimiento descrito en esta página, las ecuaciones de la hipérbola que aparece en el ejercicio de la página de Universo Fórmulas asíntotas de una hipérbola.

En este ejercicio, los parámetros de la hipérbola son a = 2 y b = 4.

La ecuación de la hipérbola será:

Fórmula del ejemplo 2 de asíntota oblicua

De la que despejamos la y:

Cálculo despejando la y en el ejemplo 2 de asíntota oblicua

Mediante el límite siguiente se descartan las asíntotas horizontales, para que puedan existir las oblicuas:

Cálculo para descartar la asíntota horizontal en el ejemplo 2 de asíntota oblicua

No hay asíntotas horizontales, porque el límite es infinito. Vamos a ver la pendiente p de la/las asíntotas oblicua/s:

Cálculo de la pendiente en el ejemplo 2 de asíntota oblicua

Porque es el límite de una razón polinómica con el mismo orden en el numerador y el denominador.

Existen dos asíntotas oblicuas porque los valores de sus pendientes p ± 0. Hallaremos el punto q de intersección con el eje Y:

Cálculo del punto q en el ejemplo 2 de asíntota oblicua

El valor de este límite (de q) es 0. Se llega a él después de una indeterminación ∞ – ∞ que ya se ha mostrado su resolución en el enlace correspondiente.

Por lo tanto, las ecuaciones de las asíntotas oblicuas buscadas son:

Cálculo de las ecuaciones en el ejemplo 2 de asíntota oblicua

Se ha llegado al mismo resultado que en el ejercicio de la página de Universo Formulas asíntotas de una hipérbola.

Dibujo de la figura del ejemplo 2 de asíntota oblicua

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