Límites infinitos

Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice que f(x) diverge a infinito. Para ello, el valor al que tienda la variable independiente x puede ser tanto a un número finito, como tender al infinito (límites al infinito).

Veamos un caso, con un límite infinito en la siguiente función:

Su límite cuando la variable tiende a 2 es:

Se puede comprobar si damos valores a la x cada vez más cercanos a 2, tanto acercándonos por su izquierda como por su derecha, como se ve en el siguiente cuadro, el límite tiende a +∞:

Cálculo del cuadro en el ejemplo 1 de límites infinitos

Visto en esta gráfica:

Dibujo de la gráfica en el ejemplo 1 de límites infinitos

Unas funciones con un límite infinito pueden crecer más rápidamente que otras, conforme la variable x se acerca al valor del límite. Decimos que hay diferentes órdenes de infinito, según su rapidez en acercarse a él.

Comparación de órdenes de infinito en infinitos fundamentales, ordenados de mayor a menor. Para eso, veamos estas gráficas:

Cálculo del limite cuando tiende a 2 en el ejemplo 1 de límites infinitos

Sus órdenes de infinito, de mayor a menor:

Pondremos ahora las denominaciones de las funciones fundamentales, ordenadas.

Potencial exponencial > exponencial > potencial > logarítmica.

O, lo que es lo mismo:

Una función f(x) puede tener un límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice entonces que f(x) diverge a infinito. Esto puede ocurrir cuando la variable x tienda a un valor finito a o también cuando x tienda al infinito. Veamos los tipos que se pueden presentar.

Tipos de límites infinitos

Límite = +∞ cuando x → a

Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) > f(a).

Como se ve en la figura:

Dibujo cuando la función tiende a más infinito cuando x tiende a a en los límites infinitos

Límite = -∞ cuando x → a

Para cualquier valor de la función f(a) existe un entorno pequeño alrededor de a en el que se cumple que f(x) < f(a).

Como se ve en la figura:

Dibujo cuando la función tiende a menos infinito cuando x tiende a a en los límites infinitos

Casos de límites infinitos cuando x tiende a infinito (a límites al infinito).

Límite = +∞ cuando x → +∞

Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) > f(a).

Dibujo cuando la función tiende a más infinito cuando x tiende a más infinito en los límites infinitos

Límite = +∞ cuando x → -∞

Para cualquier valor de la función f(a) positivo, por muy grande que sea, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) > f(a).

Dibujo cuando la función tiende a más infinito cuando x tiende a menos infinito en los límites infinitos

Límite = -∞ cuando x → +∞

Para cualquier valor de la función f(a) negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, (siendo a > 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b > a entonces f(b) < f(a).

Dibujo cuando la función tiende a menos infinito cuando x tiende a más infinito en los límites infinitos

Límite = -∞ cuando x → -∞

Para cualquier valor de la función f(a) positivo, negativo, por muy grande que sea en su valor absoluto, (siendo a < 0), siempre encontraremos otro f(b) tal que si b < a entonces f(b) < f(a).