Límites indeterminados infinito menos infinito

En los límites indeterminados del tipo ∞ – ∞ suelen ser del tipo f(x) – g(x), es decir, la resta de dos funciones.

Tratamos de ver si uno de los términos infinitos es de un orden mayor.

Una potencia de mayor exponente será el término mayor (x⁴ > x²).

El término mayor de un polinomio es mayor que un logaritmo (x² > ln x³).

Entre dos funciones exponenciales, la mayor será la que lo sea su base (5^x > 4^x).

Por tanto, si en una indeterminación ∞ – ∞ uno de los dos términos es de orden mayor, el límite será ± ∞ (el signo lo determinará si el término de orden mayor es el minuendo o el sustraendo.

Veámoslo en los casos anteriores:

Pero si el orden de los dos términos fuera el mismo, habría que realizar otro procedimiento.

Veamos un ejemplo con términos del mismo orden (en este caso el orden es 1). Reducimos a común denominador y simplificamos:

Como se ve en la figura, el límite es 0, tanto si la x tiende a +∞ como si tiende a -∞.

Otros casos requieren realizar otros pasos, como el seguiente en que, al haber un radical, se debe multiplicar y dividir por el término conjugado.

En este caso el límite es a +∞, porque un infinito negativo en una raíz cuadrada sería irracional.

Por las reglas del orden de los términos, podemos anticipar que el límite va a ser +∞, porque el orden del primer término es 1 y el orden del segundo término es ½ al estar encerrada la x en una raíz cuadrada. Pero vamos a operar como hemos dicho, multiplicando y dividiendo por su término conjugado.

Hemos llegado a un límite indeterminado infinito partido por infinito, ∞/∞, que se resuelve dividiendo numerador y denominador por el término de mayor exponente.

Como vemos en la siguiente gráfica:

Con lo que se ha eliminado la indeterminación del límite llegando al valor de +∞ como habíamos anticipado.

Otros límites indeterminados del mismo tipo, ∞ – ∞ se pueden resolver aplicando la regla de L’Hôpital. Como éste:

Al sustituir el valor 0 del límite en la x llegamos a una indeterminación ∞ – ∞. En primer lugar, mediante el común denominador, transformamos la expresión de una resta a un cociente:

Al volver a sustituir 0 por x, se ha transformado en un límite indeterminado de la forma 0/0. Podemos aplicar ahora la regla de L’Hôpital, derivando por separado el numerador y el denominador:

Como vuelve a aparecer otro límite indeterminado 0/0 al reemplazar de nuevo la x, se aplica otra vez la regla de L’Hôpital y se resuelve el límite:

Como se ve en la figura, el valor del límite es cero: