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Límites indeterminados infinito menos infinito

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En los límites indeterminados del tipo ∞ – ∞ suelen ser del tipo f(x) – g(x), es decir, la resta de dos funciones.

Tratamos de ver si uno de los términos infinitos es de un orden mayor.

Una potencia de mayor exponente será el término mayor (x4 > x2).

El término mayor de un polinomio es mayor que un logaritmo (x2 > ln x3).

Entre dos funciones exponenciales, la mayor será la que lo sea su base (5x > 4x).

Por tanto, si en una indeterminación ∞ – ∞ uno de los dos términos es de orden mayor, el límite será ± ∞ (el signo lo determinará si el término de orden mayor es el minuendo o el sustraendo.

Veámoslo en los casos anteriores:

Ejemplos en los límites indeterminados infinito menos infinito

Pero si el orden de los dos términos fuera el mismo, habría que realizar otro procedimiento.

Veamos un ejemplo con términos del mismo orden (en este caso el orden es 1). Reducimos a común denominador y simplificamos:

Ejemplo con el mismo grado en los límites indeterminados infinito menos infinito

Como se ve en la figura, el límite es 0, tanto si la x tiende a +∞ como si tiende a -∞.

Gráfica en el ejemplo con el mismo grado en los límites indeterminados infinito menos infinito

Otros casos requieren realizar otros pasos, como el seguiente en que, al haber un radical, se debe multiplicar y dividir por el término conjugado.

En este caso el límite es a +∞, porque un infinito negativo en una raíz cuadrada sería irracional.

Por las reglas del orden de los términos, podemos anticipar que el límite va a ser +∞, porque el orden del primer término es 1 y el orden del segundo término es ½ al estar encerrada la x en una raíz cuadrada. Pero vamos a operar como hemos dicho, multiplicando y dividiendo por su término conjugado.

Ejemplo con una raíz cuadrada en los límites indeterminados infinito menos infinito

Hemos llegado a un límite indeterminado infinito partido por infinito, ∞/∞, que se resuelve dividiendo numerador y denominador por el término de mayor exponente.

Ejemplo con una raíz cuadrada 2 en los límites indeterminados infinito menos infinito

Como vemos en la siguiente gráfica:

Gráfica del ejemplo con una raíz cuadrada en los límites indeterminados infinito menos infinito

Con lo que se ha eliminado la indeterminación del límite llegando al valor de +∞ como habíamos anticipado.

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Otros límites indeterminados del mismo tipo, ∞ – ∞ se pueden resolver aplicando la regla de L’Hôpital. Como éste:

Ejemplo de la regla de l'Hôpital en los límites indeterminados infinito menos infinito

Al sustituir el valor 0 del límite en la x llegamos a una indeterminación ∞ – ∞. En primer lugar, mediante el común denominador, transformamos la expresión de una resta a un cociente:

Ejemplo de la regla de l'Hôpital 2 en los límites indeterminados infinito menos infinito

Al volver a sustituir 0 por x, se ha transformado en un límite indeterminado de la forma 0/0. Podemos aplicar ahora la regla de L’Hôpital, derivando por separado el numerador y el denominador:

Ejemplo de la regla de l'Hôpital 3 en los límites indeterminados infinito menos infinito

Como vuelve a aparecer otro límite indeterminado 0/0 al reemplazar de nuevo la x, se aplica otra vez la regla de L’Hôpital y se resuelve el límite:

Ejemplo de la regla de l'Hôpital 4 en los límites indeterminados infinito menos infinito

Como se ve en la figura, el valor del límite es cero:

Gráfica del ejemplo con la regla de l'Hôpital en los límites indeterminados infinito menos infinito

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