Los binomios son expresiones algebraicas formadas por dos términos algebraicos o monomios unidos por una suma o una resta.
Un binomio es un polinomio con dos términos.
- Ejemplos de binomios
- Grado de un binomio
- Binomios al cuadrado
- Binomios al cubo
- Binomios conjugados
- Binomio de Newton
- Cuatrinomio cubo perfecto
- Suma y diferencia de cubos
- Binomios con término común
- Ejercicios
Ejemplos de binomios
Estos son ejemplos de binomios:
Grado de un binomio
- El grado de un binomio o grado absoluto de un binomio es el grado mayor de sus términos o monomios componentes. Es la mayor de las sumas de los índices de entre sus términos.
En este caso el binomio tiene un grado absoluto de 7.
- El grado relativo a una variable de un binomio es el índice mayor de esa variable entre los términos del binomio.
En el ejemplo anterior, el grado relativo a la variable x es 2, al de la y, 3 y al de la z, 3.
Binomios al cuadrado
Los binomios al cuadrado (o cuadrados de un binomio o binomios cuadrado perfecto), en el caso del cuadrado de una suma del tipo: (a + b)², es igual al cuadrado del primer monomio, más el cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo.
De este desarrollo resulta el trinomio cuadrado perfecto, que es un producto notable.
El cuadrado de un binomio es el producto del binomio (a + b) por sí mismo. Y, por la propiedad distributiva de la multiplicación y reduciendo, queda:
Cuando el binomio al cuadrado es el cuadrado de una diferencia (a – b)² el desarrollo cambia en que hay que ponerle el signo menos al doble del primero por el segundo.
Binomios al cubo
Los binomios al cubo (a + b)³ es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Este desarrollo se llama cuatrinomio cubo perfecto.
El cubo de un binomio se puede escribir así, teniendo en cuenta el desarrollo del binomio al cuadrado:
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:
Se suman términos semejantes y se ordenan los índices:
Binomios conjugados
Los binomios conjugados son parejas de binomios cuyos dos términos son iguales pero difieren en que un binomio está unido por el signo más y el otro, por el signo menos.
El resultado de multiplicar dos binomios que difieren en un signo (que se conoce también como suma por diferencia), es la diferencia de cuadrados.
Es un caso de productos notables.
El producto de dos binomios conjugados se hace con las reglas de la multiplicación de polinomios. Este es el desarrollo:
Binomio de Newton
El binomio de Newton, o teorema del binomio es un procedimiento que desarrolla la potencia de un binomio a un índice positivo cualquiera n.
Al desarrollo del teorema del binomio se puede llegar por dos procedimientos:
- Con el algoritmo o fórmula que lo desarrolla, llamada teorema generalizado del binomio.
Y ésta es la expresión de un número combinatorio que refleja las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k. Con un ejemplo:
- Con el triángulo de Pascal, llamado también triángulo de Tartaglia, se obtienen también los coeficientes de cada desarrollo a partir de la fila n + 1 del binomio de Newton (a + b)n.
El triángulo de Pascal es infinito y simétrico. El vértice es un 1. La segunda fila son dos unos. En las filas siguientes, cada número es la suma de los dos de la fila superior, Y así, sucesivamente. (A izquierda y derecha del triángulo hay un cero).
Por ejemplo, un binomio elevado a la cuarta potencia, obteniendo los coeficientes del triángulo de Pascal:
Cuatrinomio cubo perfecto
El cuatrinomio cubo perfecto tiene dos términos cubos perfectos. Los otros dos términos son el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo y el último, el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo.
El cuatrinomio cubo perfecto es el desarrollo de un binomio al cubo (a + b)³.
Diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados (o resta de cuadrados) es un binomio resultado de multiplicar dos binomios conjugados, que se denominan también suma por diferencia.
A partir de una resta de cuadrados se llega a una factorización por binomios conjugados.
Suma y diferencia de cubos
La suma y diferencia de cubos perfectos se puede factorizar en la multiplicación de un binomio por un trinomio:
Recordemos que en los cocientes notables podía darse este cociente con la suma de cubos en el numerador:
O, también, con una diferencia de cubos igualmente en el numerador:
De aquí se deducen estos casos:
- Suma de cubos: se descompone en el producto de un binomio, suma de las bases, multiplicado por un trinomio, resultante del cuadrado de la primera base, menos el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.
- Diferencia de cubos: se descompone en el producto de un binomio, resta de las bases, multiplicado por un trinomio, resultante del cuadrado de la primera base, más el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.
Una regla mnemotécnica es que en la suma de cubos, el factor binomio también suma y el signo central del trinomio es una resta. Pero en la resta de cubos, el factor binomio igualmente resta y el signo central del trinomio es una suma.
Binomios con término común
Binomios con término común se refiere al producto de dos binomios que tienen un término igual en ambos, siendo el otro término diferente.
Esto serían dos ejemplos de binomios con un monomio en común:
El resultado es el cuadrado del término común, más la suma de los monomios no comunes multiplicada por el término común, más el producto de los términos no comunes. Como se ve en este desarrollo, el resultado es un trinomio:
Los binomios con los dos monomios en común, pero uno cambiado de signo, serían un producto notable, en concreto suma por diferencia.
Ejercicios
Ejercicio 1
Desarrollar el cuadrado de este binomio:
Solución:
Ejercicio 2
Desarrollar el cubo de estos dos binomios suma:
Solución:
Ejercicio 3
Hacer el producto de estos dos binomios con los monomios unidos con diferente signo:
Solución:
Invirtiendo los paréntesis, se visualiza que hay una suma por diferencia, que se desarrolla en diferencia de cuadrados:
Ejercicio 4
Desarrollar esta potencia cuarta de un binomio resta con el algoritmo de Newton:
Ejercicio 5
Resolver estos productos de binomios conjugados:
Solución:
Aplicar que suma por diferencia es la resta de los cuadrados:
Ejercicio 6
Factorizar esta suma de cubos:
Solución:
Una vez que se ha puesto el binomio como suma de cubos:
Se aplica la regla del producto de la suma de las bases por el trinomio descrito:
Ejercicio 7
Desarrollar estos productos de binomios con término común:
Solución:
Utilizando la regla descrita, anteriormente, se obtienen los siguientes desarrollos:
