Razones trigonométricas del ángulo triple

Razones trigonométricas del ángulo triple

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Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo triple (3α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas del ángulo α.

Ejercicio

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Sea un ángulo α=45º. Las razones trigonométricas de su ángulo triple son:

  • Seno del ángulo triple (3⋅45º):
    Cálculo del seno del ángulo triple (3 por 45º)
  • Coseno del ángulo triple (3⋅45º):
    Cálculo del coseno del ángulo triple (3 por 45º)
  • Tangente del ángulo triple (3⋅45º):
    Cálculo de la tangente del ángulo triple (3 por 45º)

Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 135º.

¿Cómo se obtienen?

Seno del ángulo triple

Por la fórmula del seno del ángulo suma tenemos que:

Cálculo de la fórmula del seno del ángulo triple como alfa+2alfa.

Sustituyendo las fórmulas del seno y coseno del ángulo doble tenemos que:

Cálculo de la fórmula del seno del ángulo triple sustituyendo por el seno y coseno del ángulo doble.

Por la identidad fundamental de la trigonometría, sabemos que cos2α = 1-sen2α:

Cálculo de la fórmula del seno del ángulo triple aplicando la identidad fundamental de la trigonometría..

Y tendremos el seno del ángulo triple.

Fórmula del seno del ángulo triple

Coseno del ángulo triple

Aplicando la fórmula del coseno del ángulo suma tenemos que:

Cálculo de la fórmula del coseno del ángulo triple como alfa+2alfa.

Se sustituyen las fórmulas del seno y coseno del ángulo doble, obteniendo:

Cálculo de la fórmula del coseno del ángulo triple sustituyendo por el seno y coseno del ángulo doble.

Por la identidad fundamental de la trigonometría, sabemos que cos2α = 1-sen2α:

Cálculo de la fórmula del coseno del ángulo triple aplicando la identidad fundamental de la trigonometría..

Llegando a la fórmula del coseno del ángulo triple.

Fórmula del coseno del ángulo triple

Tangente del ángulo triple

Por la fórmula de la tangente del ángulo suma tenemos que:

Cálculo de la fórmula de la tangente del ángulo triple como alfa+2alfa.

Sustituyendo por la fórmula de la tangente del ángulo doble se obtiene:

Cálculo de la fórmula de la tangente del ángulo triple sustituyendo por el seno y coseno del ángulo doble.

Y la fórmula de la tangente del ángulo triple.

Fórmula de la tangente del ángulo triple

AUTOR: Bernat Requena Serra


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12 comentarios en “Razones trigonométricas del ángulo triple”

    1. Necesito que me ayuden a resolver un triángulo oblicuangulo cuyos datos son:

      C: 40°
      B: 75°
      a: 12cm
      C: ?
      b: ?
      c : ?

      Con el teorema del coseno

    2. En la página Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS encontrarás la manera de resolverlo
      Inténtalo

    1. Se subirán proximamente.
      Por ejemplo, la fórmula de la cotangente del ángulo triple es poner cot donde en la fórmula de la tangente del ángulo triple es tan.
      cot 3α = (3cot α – cot³ α) / (1 – 3cot² α)
      Y cosec 3α = 1/sen 3α
      sec 3α = 1/cos 3α

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