Ángulos que difieren 180º

Los ángulos que difieren 180º (α y β) son aquellos tales que β es 180º (π radianes) más grande que α. Es decir, es un par de ángulos tales que β-α=180º.

Sea β el ángulo que difiere 180º de α, donde β=180º+α. Las razones trigonométricas de β se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de α.

• Seno del ángulo que difiere 180º:
  
• Coseno del ángulo que difiere 180º:
  
• Tangente del ángulo que difiere 180º:
  
• Cosecante del ángulo que difiere 180º:
  
• Secante del ángulo que difiere 180º:
  
• Cotangente del ángulo que difiere 180º:
  

Ejercicio

Sea α=45º. Las razones trigonométricas del ángulo que difiere 180º β=180º+45º=225º son:

• Seno del ángulo que difiere 180º (180º+45º=225º):
  
• Coseno del ángulo que difiere 180º (180º+45º=225º):
  
• Tangente del ángulo que difiere 180º (180º+45º=225º):
  
• Cosecante del ángulo que difiere 180º (180º+45º=225º):
  
• Secante del ángulo que difiere 180º (180º+45º=225º):
  
• Cotangente del ángulo que difiere 180º (180º+45º=225º):
  

Los resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 225º.

¿Cómo se obtienen?

Sea β=180º+α el ángulo que difiere 180º de α. En el dibujo anterior se representan los triángulos inscritos en la circunferencia goniométrica (de radio=1 unidad) generados por el ángulo α (triángulo OAB) y por el de su ángulo que difiere 180º β (triángulo OCD). Éstos dos triángulos son semejantes.

A parte, se generan dos triángulos mediante la secante y tangente de α (triángulo OEF) y mediante la secante y tangente de β (triángulo OHI). OEF y OHI son semejantes.

Finalmente, se generan otros dos triángulos mediante cosecante y cotangente de α (triángulo OGK) y las cosecante y cotangente de β (triángulo OJL). OGK y OJL también son semejantes.

Al tratarse de varios triángulos semejantes dos a dos, se puede demostrar geométricamente todas las igualdades.