Transformaciones de razones trigonométricas

Existen las siguientes transformaciones de razones trigonométricas:

• Transformación de razones trigonométricas de suma en producto
  
  
  
  
• Transformación de razones trigonométricas de producto en suma
  
  
  
  

Transformación de razones trigonométricas de suma en producto

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Las sumas (o restas) de razones trigonométricas pueden transformarse en el producto de éstas.

• Transformación de la suma de senos en producto:
  
• Transformación de la resta de senos en producto:
  
• Transformación de la suma de cosenos en producto:
  
• Transformación de la resta de cosenos en producto:
  

Ejemplo

Sea α=90º y β=30º. Veamos que se verifican las igualdades de las transformaciones de suma a producto.

• Transformación de la suma de senos en producto:
  
• Transformación de la resta de senos en producto:
  
• Transformación de la suma de cosenos en producto:
  
• Transformación de la resta de cosenos en producto:
  

¿Cómo se obtienen?

Demostraremos como se obtiene la fórmula:

De las fórmulas del seno del ángulo suma y ángulo resta tenemos:

Sumando las igualdades obtenemos:

Si transformamos:

Entonces, sumando y restando ambas igualdades:

Y sustituyendo obtenemos la fórmula:

Las otras tres fórmulas se obtienen de manera análoga.

Transformación de razones trigonométricas de producto en suma

• Transformación del producto del seno de α y β en suma (o resta):
  
• Transformación del producto del seno de α y coseno de β en suma (o resta):
  
• Transformación del producto del coseno de α y seno de β en suma (o resta):
  
• Transformación del producto de cosenos de α y β en suma (o resta):
  

Ejemplo

Sea α=90º y β=45º. Veamos que se verifican las igualdades de las transformaciones de suma a producto.

• Transformación del producto del seno de α y β en suma (o resta):
  
• Transformación del producto del seno de α y coseno de β en suma (o resta):
  
• Transformación del producto del coseno de α y seno de β en suma (o resta):
  
• Transformación del producto de cosenos de α y β en suma (o resta):
  

¿Cómo se obtienen?

Veamos como se obtiene la fórmula:

De las fórmulas del coseno del ángulo suma y ángulo resta tenemos:

Restando las igualdades obtenemos:

Y pasando el -2 dividiendo obtenemos la fórmula:

Las otras tres fórmulas se obtienen de manera análoga.