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Resolución de un polígono regular trigonométricamente

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Dibujo de un polígono regular circunscrito en una circunferencia para el cálculo de sus elementos.

La resolución de un polígono regular trigonométricamente se puede realizar sabiendo su número de lados y uno de sus lados.

Un polígono regular es un polígono con todos los lados y ángulos iguales.

Supongamos que dicho polígono regular está circunscrito en una circunferencia (C).

Conociendo el número de lados (N) del polígono y uno de sus lados (L), se pueden calcular el radio (r) de la circunferencia en la que está circunscrito, la apotema (ap), el área y el perímetro de éste.

El ángulo central α del polígono regular es:

Fórmula del ángulo central de un polígono regular

Radio de la circunferencia circunscrita

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El radio de la circunferencia circunscrita se calcula a partir de un lado (L) y el ángulo interior (α) mediante la siguiente fórmula:

Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita en un polígono regular

Apotema del polígono regular

Mediante las razones trigonométricas del triángulo OAB, se calcula la apotema (ap) del polígono.

Fórmula de la apotema de un polígono regular

Área del polígono regular

El área del polígono regular se calcula mediante la siguiente fórmula:

Fórmula del área de un polígono regular mediante razones trigonométricas

Como en todo polígono regular, el área es la mitad del producto de su perímetro por su apotema (ap).

Cálculo de la fórmula del área de un polígono regular mediante razones trigonométricas

Perímetro del polígono regular

El perímetro del polígono regular se obtiene como producto del número de lados (N) y la longitud de un lado (L).

Fórmula del perímetro de un polígono regular

Ejercicio

Dibujo de un ejemplo de polígono regular circunscrito en una circunferencia para el cálculo de sus elementos.

Sea un hexágono regular de seis lados (N=6) de longitud L=3 cm.

A partir del número de lados (N) del hexágono y uno de sus lados (L), podremos calcular el radio (r) de la circunferencia en la que está circunscrito, la apotema (ap) y el área y el perímetro de éste.

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5 Respuestas

  1. Ricardo dice:

    De los Inscritos las formula del area es:
    A=n*r(al cuadrado) * tag(180/n)
    del lado:
    L=2*r*tag(180/n)

    • ricardo dice:

      la formulas corresponden al radio inscrito, y no al circunscrito

    • Respuestas dice:

      Es correcto Ricardo. Al formular tu comentario “referido a los inscritos” cabía interpretar, al estar en masculino, que estaba referido a los polígonos regulares inscritos.
      Cuando se trata de una circunferencia inscrita a un polígono regular, caso que no está reflejado en esta página, las fórmulas sí que son en este caso las que propones acertadamente.
      Área = N * r² * tan (180° / N)
      Siendo en una circunferencia inscrita a un polígono regular, su radio igual al apotema del polígono.
      r = ap
      Igualmente, el lado:
      L = 2 * r * tan (180° / N) = 2 * ap * tan (180° / N)
      Buena aportación

    • Respuestas dice:

      Ricardo: revisa la fórmulas. Mira las relaciones trigonométricas.
      A = N * L² / (4 * tan (180° / N))
      L = 2 * r * sen (180° / N)

  2. Carlos dice:

    Como obtengo el area de un circulo que tiene un hexagono inscrito de area 24√3 cm2 y su apotema de √12

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