Ángulos conjugados

Los ángulos conjugados (α y β) son los que, sumándolos, se obtiene un ángulo de 360º (2π radianes). Es decir, es un par de ángulos tal que α+β=360º.

Sea β el ángulo conjugado de α, es decir β=360º-α. Las razones trigonométricas del ángulo conjugado se pueden obtener en función de las razones trigonométricas de α.

• Seno del ángulo conjugado:
  
• Coseno del ángulo conjugado:
  
• Tangente del ángulo conjugado:
  
• Cosecante del ángulo conjugado:
  
• Secante del ángulo conjugado:
  
• Cotangente del ángulo conjugado:
  

Las razones trigonométricas de los ángulos conjugados son iguales a las de los ángulos opuestos.

Ejercicio

Sea un ángulo α=45º. Las razones trigonométricas del ángulo conjugado β=360º-45º=315º son las siguientes.

• Seno del ángulo conjugado (360º-45º=315º):
  
• Coseno del ángulo conjugado (360º-45º=315º):
  
• Tangente del ángulo conjugado (360º-45º=315º):
  
• Cosecante del ángulo conjugado (360º-45º=315º):
  
• Secante del ángulo conjugado (360º-45º=315º):
  
• Cotangente del ángulo conjugado (360º-45º=315º):
  

Los resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 315º.

¿Cómo se obtienen?

Sea β=360º-α el ángulo conjugado de α. En el anterior dibujo se representan los triángulos inscritos en la circunferencia goniométrica (de radio=1 unidad) generados por el ángulo α (triángulo OAB) y por el de su ángulo conjugado β (triángulo OAC). Éstos dos triángulos son semejantes.

A parte, se generan dos triángulos mediante la secante y tangente de α (triángulo ODE) y mediante la secante y tangente de β (triángulo ODF). ODE y ODF son semejantes.

También se generan otros dos triángulos mediante cosecante y cotangente de α (triángulo OJH) y las cosecante y cotangente de β (triángulo OIG). OJH y OIG también son semejantes.

Al tratarse de varios triángulos semejantes dos a dos, se puede demostrar geométricamente todas las igualdades.