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Los ángulos que difieren 90º (α y β) son aquellos tales que β es 90º (π/2 radianes) más grande que α. Es decir, es un par de ángulos tales que β-α=90º.
Sea β el ángulo que difiere 90º de α, donde β=90º+α. Las razones trigonométricas de β se pueden obtener en función de las razones trigonométricas de α.
- Seno del ángulo que difiere 90º:
- Coseno del ángulo que difiere 90º:
- Tangente del ángulo que difiere 90º:
- Cosecante del ángulo que difiere 90º:
- Secante del ángulo que difiere 90º:
- Cotangente del ángulo que difiere 90º:
Ejercicio
Sea α=45º. Las razones trigonométricas del ángulo que difiere 90º β=90º+45º=135º son:
- Seno del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
- Coseno del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
- Tangente del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
- Cosecante del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
- Secante del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
- Cotangente del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
Los resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 135º.
¿Cómo se obtienen?
Sea β=90º+α el ángulo que difiere 90º de α. En el dibujo anterior se representan los triángulos inscritos en la circunferencia goniométrica (de radio=1 unidad) generados por el ángulo α (triángulo OAB) y por el de su ángulo que difiere 90º β (triángulo OCD). Éstos dos triángulos son semejantes.
A parte, se generan dos triángulos mediante la secante y tangente de α (triángulo OEF) y mediante la cosecante y cotangente de β (triángulo OHI). OEF y OHI son semejantes (ver semejanza de triángulos).
Finalmente, se generan otros dos triángulos mediante cosecante y cotangente de α (triángulo OGK) y las secante y tangente de β (triángulo OHI). OGK y OHI también son semejantes.
Al tratarse de varios triángulos semejantes dos a dos, se puede demostrar geométricamente todas las igualdades.
Por qué los triángulos OEF y OHI son semejantes?
También por qué OGK Y OHI?
Porque sus ángulos son iguales. Mira el primer criterio de semejanza en Semejanza de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.
Los ángulos OHI y OEF son iguales (ángulos rectos). Los lados OH y OE están sobre la misma recta; Los lados HI y EF son paralelos.
El ángulo α EOF y el ángulo IOH son suplementarios (suman 180°).
Por lo que como los tres ángulos de un triángulo suman dos rectos,serán también iguales HIO y EOF (α)
El mismo razonamiento para Δ OGK y Δ OHI
Una consulta, por qué los triángulos OAB y OCD son semejantes? La misma pregunta para los otros
Dos ángulos cuyos lados sean perpendiculares entre sí, son iguales. Y ese es el caso de los ángulos ΔOAB y ΔOCD
Hola, si fuera cos(α-90º) cómo sería? -sen(α) o sen(α) o de otra forma? Gracias por la página me ha servido de mucha ayuda.
Tambien pregunto por cos(-α-90º)
Ves a razones trigonométricas del ángulo resta de UNIVERSO FÓRMULAS
Por el mismo razonamiento que el comentario anterior
cos (-α – 90°) = sen (-α) = -sen α
Ves a razones trigonométricas del ángulo resta de UNIVERSO FÓRMULAS
cos (α – 90°) = cos α · cos 90° + sen α · sen 90° = cos α · 0 + sen α · 1 =sen α