Ángulos que difieren 90º

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Dibujo de dos ángulos que difieren 90º.

Los ángulos que difieren 90º (α y β) son aquellos tales que β es 90º (π/2 radianes) más grande que α. Es decir, es un par de ángulos tales que β-α=90º.

Sea β el ángulo que difiere 90º de α, donde β=90º+α. Las razones trigonométricas de β se pueden obtener en función de las razones trigonométricas de α.

  • Seno del ángulo que difiere 90º:
    Fórmula del seno del ángulo que difiere 90º
  • Coseno del ángulo que difiere 90º:
    Fórmula del coseno del ángulo que difiere 90º
  • Tangente del ángulo que difiere 90º:
    Fórmula de la tangente del ángulo que difiere 90º
  • Cosecante del ángulo que difiere 90º:
    Fórmula de la cosecante del ángulo que difiere 90º
  • Secante del ángulo que difiere 90º:
    Fórmula de la secante del ángulo que difiere 90º
  • Cotangente del ángulo que difiere 90º:
    Fórmula de la cotangente del ángulo que difiere 90º

Ejercicio

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Sea α=45º. Las razones trigonométricas del ángulo que difiere 90º β=90º+45º=135º son:

  • Seno del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
    Cálculo del seno del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º)
  • Coseno del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
    Cálculo del coseno del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º)
  • Tangente del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
    Cálculo de la tangente del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º)
  • Cosecante del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
    Cálculo de la cosecante del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º)
  • Secante del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
    Cálculo de la secante del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º)
  • Cotangente del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º):
    Cálculo de la cotangente del ángulo que difiere 90º (90º+45º=135º)

Los resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 135º.

¿Cómo se obtienen?

Dibujo de las razones trigonométricas de dos ángulos que difieren 90º para su demostración.

Sea β=90º+α el ángulo que difiere 90º de α. En el dibujo anterior se representan los triángulos inscritos en la circunferencia goniométrica (de radio=1 unidad) generados por el ángulo α (triángulo OAB) y por el de su ángulo que difiere 90º β (triángulo OCD). Éstos dos triángulos son semejantes.

A parte, se generan dos triángulos mediante la secante y tangente de α (triángulo OEF) y mediante la cosecante y cotangente de β (triángulo OHI). OEF y OHI son semejantes (ver semejanza de triángulos).

Finalmente, se generan otros dos triángulos mediante cosecante y cotangente de α (triángulo OGK) y las secante y tangente de β (triángulo OHI). OGK y OHI también son semejantes.

Al tratarse de varios triángulos semejantes dos a dos, se puede demostrar geométricamente todas las igualdades.

Cálculo del seno del ángulo que difiere 90º para su demostración.
Cálculo del coseno del ángulo que difiere 90º para su demostración.
Cálculo de la tangente del ángulo que difiere 90º para su demostración.
Cálculo de la cosecante del ángulo que difiere 90º para su demostración.
Cálculo de la secante del ángulo que difiere 90º para su demostración.
Cálculo de la cotangente del ángulo que difiere 90º para su demostración.

AUTOR: Bernat Requena Serra


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8 comentarios en “Ángulos que difieren 90º”

    1. Porque sus ángulos son iguales. Mira el primer criterio de semejanza en Semejanza de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.

      Los ángulos OHI y OEF son iguales (ángulos rectos). Los lados OH y OE están sobre la misma recta; Los lados HI y EF son paralelos.
      El ángulo α EOF y el ángulo IOH son suplementarios (suman 180°).
      Por lo que como los tres ángulos de un triángulo suman dos rectos,serán también iguales HIO y EOF (α)
      El mismo razonamiento para Δ OGK y Δ OHI

    1. Dos ángulos cuyos lados sean perpendiculares entre sí, son iguales. Y ese es el caso de los ángulos ΔOAB y ΔOCD

    1. Ves a razones trigonométricas del ángulo resta de UNIVERSO FÓRMULAS
      Por el mismo razonamiento que el comentario anterior
      cos (-α – 90°) = sen (-α) = -sen α

    2. Ves a razones trigonométricas del ángulo resta de UNIVERSO FÓRMULAS
      cos (α – 90°) = cos α · cos 90° + sen α · sen 90° = cos α · 0 + sen α · 1 =sen α

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