Producto vectorial

Producto vectorial

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Se llama producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores Vector a y Vector b a otro vector Vector c cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman.

Para indicar el producto vectorial se usa tanto la notación Vector a x Vector b como Vector a ∧ Vector b. Aquí utilizaremos la notación Vector a ∧ Vector b.

Fórmula del producto vectorial de dos vectores

La dirección del vector producto cruz (Vector c) es perpendicular al plano que forman Vector a y Vector b y su sentido lo marca la regla de la mano derecha (o regla del sacacorchos).

Dibujo de la regla de la mano derecha para calcular el producto vectorial

El módulo del vector Vector c es igual al número que representa el área del paralelogramo formado a partir de los dos vectores iniciales.

Dibujo del paralelogramo generado por a y b, siendo su área igual al producto vectorial

Se puede obtener el producto vectorial de dos vectores, si conocemos sus componentes:

Fórmula y ejemplo 1 para calcular el producto de dos vectores mediantes matrices o determinantes

Podemos utilizar la función determinante, primero de orden 3:

Fórmula 1 del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Desarrollado por la primera fila, porque sus términos son simbólicos, no escalares, (son los vectores unitarios):

Fórmula 2 del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Un ejemplo de producto cruz es el momento de una fuerza respecto de un punto O. Este momento es otro vector Vector M producto cruz del vector posición Vector r, del punto de aplicación de la fuerza referido a O, por el vector fuerza Vector F. O sea, Vector M = Vector r ∧ Vector F.

Propiedades

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Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial será igual al producto de sus módulos (sen 90° = 1).

Pero si los vectores están en rectas paralelas o coincidentes, su producto cruz es cero. Por lo tanto, será nulo el producto cruz de un vector por sí mismo o por su opuesto (sen 0° = 0 y sen 180° = 0).

El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa, porque si se permutan los factores, el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta (propiedad anticonmutativa).

Propiedad anticonmutativa del producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial cumple la propiedad distributiva:

Propiedad distributiva del producto vectorial de dos vectores

Ejercicio

Veamos un ejemplo:

Hallar el producto vectorial de estos dos vectores:

Enunciado del ejemplo del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

La función determinante de orden 3 será:

Cálculo de la función determinante del ejemplo del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Por tanto, se desarrolla por la primera fila:

Cálculo de la primera fila del ejemplo del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Se comprueba la propiedad anticonmutativa:

Cálculo de la propiedad anticonmutativa del ejemplo del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Si se desarrolla igualmente:

Cálculo del desarrollo del ejemplo del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Se ha visto que permutando los factores, el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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