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Paralelepípedo

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Un paralelepípedo es un sólido de seis caras. El paralelepípedo es un prisma cuadrangular cuyas caras son paralelogramos paralelos e iguales dos a dos.

Tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas, cumpliendo el teorema de Euler. Las doce aristas están divididas en tres grupos de cuatro, que son paralelas entre sí y de igual longitud.

Dibujo de las aristas de un paralelepípedo

Tipos de paralelepípedos

Existen los siguientes tipos de paralelepípedo, que se clasifican según son sus caras:

  • Ortoedro: Sus caras son seis rectángulos. Las caras son perpendiculares con las que comparten una arista. Son prismas cuadrangulares y rectos. En la vida cotidiana: cajas de zapatos, de cerillas o los ladrillos para la construcción.
    Dibujo de un paralelepípedo
  • Cubo: es un caso particular de octoedro en el que las seis caras son cuadrados.
    Dibujo de un cubo
  • Romboedro: sus seis caras son rombos, que necesariamente son iguales al compartir aristas que son los lados de cada rombo. Pese a que sus seis caras son iguales, el romboedro no es uno de los poliedros regulares, porque sus caras no son polígonos regulares. Un romboedro es un paralelepípedo oblicuo.
    Dibujo de un romboedro

    El desarrollo del romboedro es el siguiente:

    Dibujo del desarrollo de un romboedro
  • Romboiedro: sus seis caras son romboides. Un romboiedro es un paralelepípedo oblicuo.
    Dibujo de un romboiedro

    El desarrollo del romboiedro es el siguiente:

    Dibujo del desarrollo de un romboiedro
  • Paralelepípedo oblicuo: a diferencia del ortoedro, un paralelepípedo oblicuo es aquel en el que al menos una altura no coincide con una arista.
    Dibujo de un paralelepípedo oblicuo

Diagonales de los paralelepípedos

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En todos los paralelepípedos, sus cuatro diagonales confluyen en su punto medio M.

Dibujo de las cuatro diagonales de un paralelepípedo

Dibujo de la diagonal de un ortoedro

En los ortoedros, se calculan sus cuatro diagonales iguales mediante el teorema de Pitágoras en el espacio tridimensional.

Vemos como se calculan. Aplicamos primero el teorema de Pitágoras para hallar la diagonal de la base db, partiendo de los catetos a y b.:

Cálculo de la diagonal de una base de ortoedro

Ahora se nos forma otro triángulo rectángulo de catetos db y c. Su hipotenusa será la diagonal del ortoedro que buscamos, D.

Cálculo de la diagonal de un ortoedro

Este es el teorema de Pitágoras en el espacio.

Área de un paralelepípedo

La fórmula general del área de un paralelepípedo es:

Fórmula del área del paralelepípedo

El área del paralelepípedo depende del tipo de paralelepípedo que sea:

  1. Dibujo del área de un ortoedro

    En el caso del área de un ortoedro será la suma del área de sus seis caras, que son rectángulos:

    Fórmula del área del ortoedro
  2. Dibujo del área de un cubo

    El área del cubo será:

    Fórmula del área del cubo
  3. Dibujo del área de un romboedro

    El área de un romboedro será, partiendo del área del rombo:

    Fórmula del área del romboedro
  4. Dibujo del área de un romboiedro

    El área de un romboiedro es:

    Fórmula del área del romboiedro

    Para calcularla, deberemos aplicar a cada par de romboides iguales y opuestos la fórmula del área de un paralelogramo.

Volumen de un paralelepípedo

Dibujo del volumen de un paralelepípedo

La fórmula general del volumen del paralelepípedo es el producto del área de cualquiera de sus caras por la altura respecto a ella. Esta altura es el segmento perpendicular a esa cara comprendido entre ésta y su cara opuesta.

Fórmula del volumen del paralelepípedo

Dibujo del paralelepípedo para calcular su volumen por el producto mixto

Otro procedimiento para hallar el volumen de un paralelepípedo es recurrir al producto vectorial mixto. Para ello, las tres aristas concurrentes en un vértice del paralelepípedo las definimos como tres vectores con origen en ese mismo vértice.

Si conocemos las coordenadas de los vértices, las componentes de los tres vectores las hallamos por la diferencia entre las coordenadas de los extremos de cada vector.

La ecuación del producto vectorial mixto da un resultado que, en valor absoluto, equivale al volumen del paralelepípedo. El volumen es el valor absoluto del determinante formado por los componentes de los tres vectores. Como es el valor absoluto y, además, en un paralelepípedo, cualquier cara puede ser la base, no importa el orden de las filas de los componentes de los tres vectores en el determinante.

Fórmula del volumen del paralelepípedo mediante el producto mixto

Insistir en que es el valor absoluto, por lo que el orden de las filas es indiferente.

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3 Respuestas

  1. carlo sanchez dice:

    que fino saber

  2. Julian Alejandro Mondragón Tique dice:

    esta muy buen la información pero… falto los elementos

  3. Joel Hernandez dice:

    muy bonito!

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