Paralelepípedo

Un paralelepípedo es un sólido de seis caras. El paralelepípedo es un prisma cuadrangular cuyas caras son paralelogramos paralelos e iguales dos a dos.

Tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas, cumpliendo el teorema de Euler. Las doce aristas están divididas en tres grupos de cuatro, que son paralelas entre sí y de igual longitud.

Tipos de paralelepípedos

Existen los siguientes tipos de paralelepípedo, que se clasifican según son sus caras:

• Ortoedro: Sus caras son seis rectángulos. Las caras son perpendiculares con las que comparten una arista. Son prismas cuadrangulares y rectos. En la vida cotidiana: cajas de zapatos, de cerillas o los ladrillos para la construcción.
  
• Cubo: es un caso particular de octoedro en el que las seis caras son cuadrados.
  
• Romboedro: sus seis caras son rombos, que necesariamente son iguales al compartir aristas que son los lados de cada rombo. Pese a que sus seis caras son iguales, el romboedro no es uno de los poliedros regulares, porque sus caras no son polígonos regulares. Un romboedro es un paralelepípedo oblicuo (o, también, un caso de hexaedro irregular).
  

  El desarrollo del romboedro es el siguiente:

  
• Romboiedro: sus seis caras son romboides. Un romboiedro es un paralelepípedo oblicuo.
  

  El desarrollo del romboiedro es el siguiente:

  
• Paralelepípedo oblicuo: a diferencia del ortoedro, un paralelepípedo oblicuo es aquel en el que al menos una altura no coincide con una arista.
  

Diagonales de los paralelepípedos

En todos los paralelepípedos, sus cuatro diagonales confluyen en su punto medio M.

En los ortoedros, se calculan sus cuatro diagonales iguales mediante el teorema de Pitágoras en el espacio tridimensional.

Vemos como se calculan. Aplicamos primero el teorema de Pitágoras para hallar la diagonal de la base d_b, partiendo de los catetos a y b.:

Ahora se nos forma otro triángulo rectángulo de catetos d_b y c. Su hipotenusa será la diagonal del ortoedro que buscamos, D.

Este es el teorema de Pitágoras en el espacio.

Área de un paralelepípedo

La fórmula general del área de un paralelepípedo es:

El área del paralelepípedo depende del tipo de paralelepípedo que sea:

1. 

   En el caso del área de un ortoedro será la suma del área de sus seis caras, que son rectángulos:

   

2. 

   El área del cubo será:

   

3. 

   El área de un romboedro será, partiendo del área del rombo:

   

4. 

   El área de un romboiedro es:

   

   Para calcularla, deberemos aplicar a cada par de romboides iguales y opuestos la fórmula del área de un paralelogramo.

Volumen de un paralelepípedo

La fórmula general del volumen del paralelepípedo es el producto del área de cualquiera de sus caras por la altura respecto a ella. Esta altura es el segmento perpendicular a esa cara comprendido entre ésta y su cara opuesta.

Otros procedimientos para hallar el volumen de un paralelepípedo son:

Por el producto vectorial mixto

Recurrir al producto vectorial mixto. Para ello, las tres aristas concurrentes en un vértice del paralelepípedo las definimos como tres vectores con origen en ese mismo vértice.

Si conocemos las coordenadas de los vértices, las componentes de los tres vectores las hallamos por la diferencia entre las coordenadas de los extremos de cada vector.

La ecuación del producto vectorial mixto da un resultado que, en valor absoluto, equivale al volumen del paralelepípedo. El volumen es el valor absoluto del determinante formado por los componentes de los tres vectores. Como es el valor absoluto y, además, en un paralelepípedo, cualquier cara puede ser la base, no importa el orden de las filas de los componentes de los tres vectores en el determinante.

Insistir en que es el valor absoluto, por lo que el orden de las filas es indiferente.

A partir de las coordenadas de los vértices

A partir de las coordenadas de cuatro vértices del paralelepípedo que no pertenezcan a una sola cara, se puede hallar igualmente el volumen mediante determinantes.

Si esos cuatro vértices fuesen B(x_B, y_B, z_B), C(x_C, y_C, z_C), D(x_D, y_D, z_D) y I(x_I, y_I, z_I), el volumen se hallaría con el determinante.