Producto mixto

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El producto mixto de tres vectores es un número o magnitud escalar que se obtiene, partiendo del producto vectorial de dos vectores Vector a y Vector b, multiplicado escalarmente por un tercer vector Vector d.

Fórmula del producto mixto de tres vectores

En primer lugar, se resuelve el producto vectorial. El vector resultante se multiplica mediante el producto escalar por el vector Vector d.

Este producto de tres vectores es numéricamente y en valor absoluto igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores Vector a, Vector b y Vector d.

Dibujo del paralelelepípedo generado por a, b y d

Efectivamente, hemos dicho antes que el módulo del producto vectorial es igual al área que forman los vectores factores, Vector a y Vector b.

El módulo del producto escalar es:

Fórmula del módulo del producto escalar

Donde │Vector d│ · cos α) es la altura h del paralelepípedo formado por los vectores Vector a, Vector b y Vector d, cuando se toma como base la cara formada por Vector a, Vector b. Esta es la demostración de que el producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo de la figura.

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Ejercicio

Hallar el volumen de un paralelepípedo del que conocemos los componentes de los vectores que definen tres aristas, que son:

Enunciado del ejercicio 1 de producto mixto

Solución:

Desarrollando la función determinante del producto mixto de los tres vectores:

Solución del ejercicio 1 de producto mixto

El volumen de este paralelepípedo es de 48 u3.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2017


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