Tipos de ecuaciones

Existen diferentes tipos de ecuaciones.

En esta página vamos a estudiar los siguientes:

Ecuaciones algebraicas
Ecuaciones irracionales
Ecuaciones racionales
Ecuaciones trigonométricas

Ecuaciones algebraicas

Ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones de primer grado (o ecuaciones lineales) son las que las variables aparecen elevadas a la primera potencia. Es decir, los términos tienen como máximo grado 1.

En cambio, esta ecuación no es de primer grado.

En las ecuaciones lineales, las variables ni se multiplican ni se dividen entre sí, como pasa en el ejemplo siguiente.

Estas dos últimas serían ecuaciones no lineales.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita (o ecuaciones lineales con una incógnita) son la forma más simple de las ecuaciones de primer grado. Son las que se pueden transformar en otra ecuación equivalente del tipo:

Siendo a y b números y x la única incógnita.

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita:

Se agrupan los términos con la variable a la izquierda de la igualdad y los términos libres a la derecha. Los términos que pasan a otra parte, cambian de signo.

Cabe remarcar que es igualmente válido hacer la agrupación de la variable a la derecha y de los números a la izquierda, pero nos vamos a centrar en el otro caso.
Si hay paréntesis, el elemento que multiplica o divide al paréntesis se multiplicará o dividirá por los elementos que hay dentro del paréntesis.
Cuando hay fracciones, se transforman todos los términos para que tengan un común denominador. Para ello se buscará el mínimo común múltiplo (ver operaciones con fracciones).

En este caso el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores es 12. Se reduce a común denominador. Operando, se eliminan los denominadores:
El coeficiente del término de la variable aislada, si está multiplicando, pasa dividiendo y viceversa. Y con el mismo signo.
Una vez aislada la incógnita, se puede hallar la solución.
Conviene siempre comprobar la solución, colocándola en la primera ecuación en el lugar de la incógnita.

Una ecuación de primer grado puede tener una solución:

Una solución en la resolución de ecuaciones de primer grado

Ninguna:

Ningún valor de x satisface la ecuación.

O admitir cualquier solución:

Cualquier solución en la resolución de ecuaciones de primer grado

Esta ecuación, en realidad sería una identidad.

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado puede tener una o varias incógnitas. He aquí una:

Cuando una ecuación de primer grado tiene más de una incógnita, para obtener soluciones, las incógnitas a partir de la primera actuarán como parámetros. Dándole valores a los parámetros se obtendrán soluciones particulares a la incógnita aislada.

Si se toma la x en función de y y de z, se considerarán estas dos últimas variables como parámetros, de esta manera:

Calcular la x en ecuaciones de primer grado de dos incógnitas

Esta última expresión es la solución general de la ecuación para la incógnita x. Dando valores diferentes a los parámetros, se obtendrán diferentes soluciones particulares. Por ejemplo, para α = 1 y β = 2, la solución particular será:

En una ecuación de primer grado, el número de parámetros se denomina grados de libertad o grado de indeterminación. En una ecuación lineal con n incógnitas, los grados de libertad serán n – 1.

Otra vía para conocer la solución general en ecuaciones de de primer grado con más de una incógnita, es formar sistemas de ecuaciones lineales con al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas son polinomios de segundo grado igualado a cero. El polinomio tiene una variable, cuyo índice mayor debe ser el 2.

La incógnita es la x. Y a, b y c son los coeficientes. Los coeficientes son números reales. Al coeficiente c se le llama término libre.

Resolver ecuaciones de segundo grado

Resolver ecuaciones de segundo grado es hallar sus raíces o valores de la incógnita que cumplen con la igualdad.

Una ecuación cuadrática puede tener:

Dos raíces
Una raíz doble
Ninguna raíz

La representación gráfica de una función polinómica de segundo grado es la gráfica de la función cuadrática en forma estándar de la parábola vertical. Si la función la igualamos a cero, tenemos una ecuación cuadrática.

Una raíz de una ecuación, en este caso y si existe, de una ecuación cuadrática, en su gráfica, es el punto, en donde corta al eje X.

Las ramas van hacia arriba si a es positiva y hacia abajo, si a es negativa. El eje de simetría es vertical con ecuación x = -b / 2a.

Esta es la gráfica de una ecuación de segundo grado con dos raíces:

La gráfica corta el eje X en dos puntos.

Esta es la gráfica de una ecuación de segundo grado con una raíz doble:

Gráfica de una ecuación cuadrática con raíz doble

La gráfica corta el eje X en un punto.

Esta es la gráfica de una ecuación cuadrática sin raíces reales:

Gráfica de una ecuación de segundo grado sin raíces

La gráfica no corta el eje X en ningún punto.

El número de raíces depende del valor del determinante Δ de la fórmula cuadrática.

Ecuaciones cuadráticas completas

En las ecuaciones cuadráticas completas (o ecuaciones de segundo grado completas), los tres coeficientes no son nulos.

Esto son ejemplos de ecuaciones de segundo grado completas:

Ejemplos de las ecuaciones de segundo grado completas

Porque ninguno de los tres coeficientes son nulos.

Una ecuación de segundo grado puede aparecer de otra manera. A la derecha, estos tres ejemplos están presentados en forma canónica:

Ejemplos en forma canónica de las ecuaciones de segundo grado completas

Fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática proporciona las raíces de una ecuación de segundo grado.

Dada una ecuación de segundo grado completa:

Podemos obtener sus raíces con la fórmula cuadrática:

El número de soluciones depende del radical comprendido dentro del radicando de la raíz cuadrada. Se le llama discriminante y se representa con el signo Δ:

Cuando el discriminante es positivo, hay dos soluciones diferentes:

Discriminante y soluciones mediante la fórmula cuadrática

Si el discriminante es nulo, hay dos soluciones iguales:

Discriminante nulo en la fórmula cuadrática

Pero si el discriminante es negativo, no hay solución real para ese caso:

La fórmula de Muller, poco utilizada, proporciona igualmente las raíces de una ecuación completa de segundo grado:

Ecuaciones de segundo grado incompletas

En las ecuaciones de segundo grado incompletas, los coeficientes b y c son nulos o bien alguno de los dos.

Recordemos que una ecuación cuadrática completa es de la forma:

Tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas

Ecuación cuadrática monomial. No tiene los coeficientes b y c. Su solución siempre es 0.
Ecuación cuadrática pura. El coeficiente b es 0.

Las dos raíces se hallan despejando la x:

Cuando a y c tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias, porque aparece una cantidad negativa en la raíz cuadrada.
Ecuación cuadrática mixta o binomial. El coeficiente c es 0.

Las dos raíces se hallan factorizando:

Una de ellas siempre es nula:

Ecuaciones de grado superior

Son ecuaciones de grado superior o ecuaciones de grado superior a dos las que tienen grado tres o superior. Tienen una incógnita.

Este tipo de ecuaciones se descomponen por factorización. Cada factor se iguala a cero y se resuelve, apareciendo las soluciones.

Sabemos que las soluciones son divisores del término independiente (el coeficiente que no multiplica a la incógnita).

Teorema del factor

El teorema del factor dice:

Un polinomio P(x) es divisible por (x – a), si, y solo si, el resultado de reemplazar en P(x), x por a, resulta P(a) = 0. El resto de la división será nulo.

El teorema del factor sirve para saber si un polinomio es divisible por x – a. Mediante este teorema, se identifican posibles factores en la forma x – a, quedando otros factores de un grado menor. Este proceso se llama factorización.

El teorema del factor es una consecuencia del teorema del resto. Uno lleva al otro.

Al hacer la división:

Al polinomio se le habrá hecho una primera factorización:

a es una raíz o cero de la correspondiente ecuación polinómica. El otro factor Q(x) es otro polinomio de un grado inferior.

Si se sigue y se llega a la factorización completa del polinomio, también se habrán hallado las n raíces o ceros de esa ecuación polinómica. El número de raíces es igual al grado n del polinomio. Aunque suelen ser números reales, también podrían haber raíces complejas. Pueden haber raíces repetidas.

El producto de todas las raíces es el término independiente del polinomio.

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son un tipo de ecuaciones de grado superior de cuarto grado.

Las que tienen la forma reducida:

En la que el coeficiente a no puede ser nulo, aunque sí cualquiera de los otros dos coeficientes b y/o c.

Al tener grado cuatro, pueden haber cuatro soluciones reales como máximo. Pero también hay casos de tres, dos, una o ninguna solución real.

Se resuelven haciendo el cambio de variable:

Y se convierten en una ecuación de segundo grado:

Para aplicar, entonces, la fórmula cuadrática (procedimiento más sencillo en segundo grado que la regla de Ruffini).

Supongamos que obtenemos dos soluciones reales z₁ y z₂. Entonces, las soluciones a la ecuación bicuadrada serían:

Soluciones de las ecuaciones bicuadradas

Pero no siempre se obtienen cuatro soluciones:

Si una solución z_i = 0, su raíz cuadrada sería 0. z_i daría lugar a una única solución.
Si la solución z_i es negativa, su raíz cuadrada sería un número complejo. z_i no proporcionaría soluciones reales.

Una ecuación bicuadrada puede intentar resolverse por la regla de Ruffini, pero debe haber alguna raíz entera. El método del cambio de variable permite hallar las raíces, pese a que algunas raíces no sean enteras.

Ecuaciones tricuadradas

Las ecuaciones tricuadradas tienen grado 6. La forma reducida es:

Las incógnitas solamente tienen término en grado 6 y grado 3.

Se resuelven haciendo el cambio de variable:

Y se convierten igualmente en una ecuación de segundo grado:

Una vez halladas las soluciones con la fórmula cuadrática, (v₁, y v₁) se deshace el cambio de variable, apareciendo las raíces de la ecuación tricuadrada:

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini (o división sintética) es un método que permite hallar las raíces de una ecuación (siempre que estas raíces sean números enteros). Es útil para grados 3 y 4.

Con la regla de Ruffini se puede factorizar un polinomio en factores del tipo (x – k_i). A efectos de la regla, los polinomios se igualaran a cero.

El fundamento de la regla es:

Si una ecuación polinómica P(x) = 0, de grado n tuviese raíces enteras, y una de ellas fuese a, se podrá factorizar en forma (x – a)Q(x). Q(x) es de grado n – 1. Con Q(x) se repetiría el proceso, hasta tener completamente factorizada la ecuación polinómica. Los números enteros k_i de los n binomios obtenidos en la factorización completa, serán las n raíces de la ecuación polinómica.
Cuando se llega a una ecuación de segundo grado, podemos dejar la regla de Ruffini y aplicar las fórmulas conocidas (por ejemplo la fórmula cuadrática).
Las raíces obtenidas son divisores del término independiente del polinomio (el término que no tiene x).
El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x)/(x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

Teorema del resto

El teorema del resto sirve para saber si un polinomio es divisible por x – a. Para ello, el resto R de esa división debe de ser cero.

El teorema del resto dice:

Si un polinomio P(x) se divide por (x – a), el resto R es el resultado de reemplazar en P(x), x por a. El resto será P(a).

En efecto, al hacer la división:

(Donde Q(x) es el llamado polinomio reducido de grado n – 1).

Y se reemplaza en P(x), la x por a:

Dibujo del teorema del resto reemplazando por a

Se comprueba que el resto es igual a la evaluación del polinomio en a.

El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x) / (x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

La regla de Ruffini (o división sintética), es un buen instrumento para aplicar el teorema del resto, cuando existe alguna raíz a entera.

El teorema del factor está para saber si a es una raíz del polinomio (un valor de x que lo hace nulo), o lo que es lo mismo, si (x – a) es un factor de P(x). El teorema del factor sería el reverso del teorema del resto.

Ecuaciones irracionales

En las ecuaciones irracionales o ecuaciones con radicales, la incógnita figura en el radicando (bajo un signo radical).

Son ecuaciones con radicales:

Consideramos aquí básicamente las raíces cuadradas.

Se resuelven aislando en un miembro de la igualdad el término o los términos que contengan raíz.

Elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación.

Si continúa habiendo un término con radical, se repite el proceso de aislarlo a una parte de la igualdad y elevar al cuadrado los dos miembros. Hasta que desaparezcan los radicales.

Resolver la ecuación.

Aquí hay que considerar que se ha aumentado el grado de la ecuación, por lo que pueden aparecer soluciones que no satisfagan la ecuación irracional inicial. Por eso, siempre hay que comprobar si cumplen la ecuación con radicales original y descartar las que no la cumplan.

Veamos un caso con soluciones no válidas:

Ecuación irracional con soluciones válidad

La solución 0 no cumple, no es válida. La solución 3 es la solución racional única de esta ecuación con radicales.

Ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales, o ecuaciones fraccionarias, son las que contienen fracciones algebraicas. Al menos en una de las partes de la igualdad, una o más variables están en el denominador.

Estos son ejemplos de ecuaciones racionales:

Cómo resolver ecuaciones con fracciones

Seguir estos pasos:

Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
Multiplicar todos los términos de la ecuación por el m.c.m. (Recordamos que el m.c.m., una vez hecha la factorización, son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente).
Eliminar los denominadores.
Operar, reduciendo a la ecuación simplificada.
Resolver esta ecuación, hallar sus raíces.
Importante, comprobar estas raíces en la ecuación original, por si hubieran soluciones falsas (raíces que anularan alguno de sus denominadores).

En el caso de que hubiera un término a cada parte de la igualdad, un procedimiento más rápido es:

Multiplicar en cruz.
Operar, reduciendo a la ecuación simplificada.
Resolver esta ecuación, hallar sus raíces.
Comprobar estas raíces en la ecuación original.

Ecuaciones trigonométricas

Las ecuaciones trigonométricas son en las que están implicadas una o varias funciones trigonométricas.

Sus soluciones pueden aparecer en dos cuadrantes. Además, por tratarse de relaciones periódicas, también aparecerán en los diferentes ciclos sucesivos.

Para resolver una ecuación trigonométrica, hay que reducirla a una sola razón trigonométrica, a partir del conocimiento de las relaciones entre este tipo de razones.

Ejercicios

Ejercicio 1

Resolver esta ecuación de primer grado con una incógnita:

Solución:

Se reducen todos los términos a común denominador. El mínimo común múltiplo de 3, 2 y 5 es 30:

Multiplicando todos los términos por 30, se eliminan los denominadores y la igualdad se mantiene:

Se eliminan los paréntesis, multiplicando los factores de cada uno por sus elementos interiores:

Se agrupan los términos con la variable a la izquierda de la igualdad y los términos libres a la derecha. Los términos que pasan a otra parte, cambian de signo. Una vez agrupados, se opera:

El coeficiente del término de la variable aislada, si está multiplicando, pasa dividiendo y viceversa. Y con el mismo signo. Una vez aislada la incógnita, se puede hallar la solución: