Cóncavo y convexo

El concepto de cóncavo y convexo explica la forma geométrica que tiene una función.

En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una función convexa a un valle.

Diremos que una función es cóncava (o cóncava hacia abajo) si dados dos puntos cualesquiera (M y N) de su gráfica, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función. También se llaman funciones estrictamente cóncavas.

Análogamente, diremos que la función es convexa (o cóncava hacia arriba) si tomando dos puntos cualquiera (M y N), el segmento que los une queda por encima de la curva. También se llaman funciones estrictamente convexas.

Sean f y f ' derivables. Si estudiamos la función analíticamente, diremos que f es convexa en un punto x si la segunda derivada es mayor que 0 (f ''(x) > 0) y cóncava si es menor que 0 (f ''(x) < 0).

El concepto de cóncavo y convexo se puede estudiar en toda la función o a nivel local en un punto (concavidad y convexidad en un punto) o en un intervalo (concavidad y convexidad en un intervalo).

Propiedad

• Si f(x) es una función cóncava, entonces –f(x) es una función convexa.
• Si f(x) es una función convexa, entonces –f(x) es una función cóncava.

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión x₀ es un punto donde la función cambia de concavidad (la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava).

Formalmente, diremos que un punto x₀ es de inflexión si:

El número de puntos de inflexión depende de las raíces que tenga la segunda derivada de f.

Estudio de la convexidad y concavidad de una función

Para estudiar la convexidad y concavidad de una función, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Calculamos la segunda derivada de f, es decir f ''.
2. Resolvemos la ecuación f ''(x) = 0 y calculamos las raíces. Estas raíces serán los puntos de inflexión.
3. Dibujamos la recta real y sobre ella marcamos las raíces de f '' y los puntos de discontinuidad de la función (si los tuviese).
   

   Creamos intervalos entre los puntos de inflexión. Dentro de estos intervalos la función siempre será o convexa o cóncava.

4. Estudiamos el signo de f ''(x) en los intervalos anteriores. Para ello tomamos un punto x_i cualquiera dentro de cada intervalo y hallamos la segunda derivada de f en dicho punto, f ''(x_i).
   
   • Si f ''(x_i) es positivo, la función es convexa en ese intervalo.
   • Si f ''(x_i) es negativo, la función es cóncava en ese intervalo.

Ejercicio

Sea la función f derivable dos veces, definida por:

Vamos a estudiar en que tramos la función es cóncava o convexa.

1. Primero se calcula la segunda derivada de f, f ''.
   
2. Resolvemos la ecuación f ''(x) = 0 y calculamos las raíces, para obtener los puntos de inflexión.
   
3. Dibujamos la recta real y sobre ella marcamos las dos raíces de f '', r₁ = -2 y r₂ = 2. No existe ningún punto de discontinuidad.
   

   Creamos intervalos entre los puntos de inflexión. En este caso tendremos 3 intervalos: ]-∞ , -2[, ]-2 , 2[ y ]2 , +∞[.

4. Ahora estudiamos el signo de f ''(x) en los intervalos anteriores. Para ello tomamos los puntos x₁ = -4, x₂ = 0 y x₃ = 4.
   

   Y si lo representamos en un dibujo:

   

   Obteniendo que:

   • f es convexa en ]-∞ , -2[ y ]2 , +∞[.
   • f es cóncava en ]-2 , 2[.

Concavidad y convexidad en un punto

Para estudiar la concavidad o convexidad de una función en un punto x, debemos recurrir a la derivada segunda de la función. Sean f y f ' derivables.

Diremos que f es convexa en x si la segunda derivada de f en x es mayor que 0 (f ''(x)>0).

Análogamente, diremos que f es cóncava en x si la segunda derivada de f en x es menor que 0 (f ''(x)<0).

Concavidad y convexidad en un intervalo

Sea el intervalo [a,b]. Para estudiar la concavidad y convexidad en el intervalo podemos seguir dos métodos:

La función f es cóncava en [a,b] si dados dos puntos cualesquiera M y N de coordenadas x₁ y x₂ dentro del intervalo, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función.

Del mismo modo, la función f será convexa en [a,b] si dados dos puntos cualquiera M y N con coordenadas x₁ y x₂ dentro del intervalo, el segmento que los une queda por encima de la curva.

También podemos estudiar la convexidad y concavidad a partir de las derivadas.

• Diremos que f es convexa en [a,b] si f ''(x) > 0 para todo x del intervalo.
• En cambio, la función f es cóncava en [a,b] si f ''(x) < 0 para todo x del intervalo.