Discontinuidad de funciones

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Una función f es discontinua en a (o tiene una discontinuidad en a) si se cumplen al menos una de estas tres condiciones:

  1. No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:


    Condición de inexistencia de imagen en un punto de una función discontinua.

  2. No existe el límite de f en el punto x = a:


    Condición de inexistencia del límite en la discontinuidad en un punto.

  3. La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes.


    Condición de desigualdad de la imagen y del límite en la discontinuidad en un punto.


Dibujo de los tres casos en los que una función es discontinua en un punto.

Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades:

Discontinuidad evitable

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Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes:


Dibujo de una función con una discontinuidad evitable.

  • Existe el límite en a y éste es finito.


    Condición de existencia de límite finito para la discontinuidad evitable.

  • La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.


    Condición de no existencia de imagen o desigualdad con el límite para la discontinuidad evitable.

Se dice que la discontinuidad es evitable porque se podría evitar definiendo la imagen de a como el valor de su límite en este punto.

Ver ejemplo de discontinuidad evitable

Discontinuidad inevitable

Una función f tiene una discontinuidad inevitable en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir:


Condición de desigualdad de los límites laterales para la discontinuidad inevitable.


Dibujo de una función con una discontinuidad inevitable.

Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.

Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.


Fórmula del salto en la discontinuidad inevitable.

Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad inevitable en:

  • Discontinuidad inevitable de salto finito

    El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita.


    Fórmula del salto en la discontinuidad inevitable de salto finito.


    Dibujo de una discontinuidad inevitable de salto finito.

  • Discontinuidad inevitable de salto infinito

    El salto que se produce entre límites laterales es infinito.


    Fórmula del salto en la discontinuidad inevitable de salto infinito.


    Dibujo de una discontinuidad inevitable de salto infinito.

    En este caso, también se llama discontinuidad inevitable infinita.

Ver ejemplo de discontinuidad inevitable de salto finito

Ver ejemplo de discontinuidad inevitable de salto infinito

Discontinuidad esencial

Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:


Condición de la discontinuidad esencial.


Dibujo de una función con una discontinuidad esencial.

Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en , al no tener límite lateral por la izquierda en x=1.

Ver ejemplo de discontinuidad esencial

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