Funciones simétricas y asimétricas

Una función f es simétrica si al doblar su gráfica por un eje de simetría ésta se superpone.

Existen dos tipos de simetrías:

1. Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también se llaman funciones pares).
2. Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas funciones impares).

Estudiar si la función es simétrica se llama estudio de la simetría o, al tratarse de funciones pares o impares, estudio de la paridad.

Las funciones que no son simétricas son asimétricas.

Funciones pares

Una función par es una función simétrica respecto al eje de ordenadas OY. Es decir, si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas encima de la otra parte, la gráfica se solaparía.

Las funciones pares son las que cumplen que las imágenes del opuesto de un elemento (-x) y la imagen de este elemento (x) coinciden, es decir:

Funciones impares

Una función impar es una función simétrica respecto al origen O. Si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas (OY) y después de nuevo por el eje de abscisas (OX), la gráfica se solaparía.

En las funciones impares se cumple que la imagen del opuesto de un elemento (-x) es la imagen opuesta de dicho elemento (x), es decir:

Método de estudio de la simetría

Para estudiar la simetría debemos de estudiar cual es la imagen de –x.

1. Si f(-x) = f(x), entonces la función es par y simétrica respecto al eje de ordenadas OY.
2. Si por el contrario f(-x) = –f(x), entonces la función es impar y simétrica respecto al origen O.
3. En el caso de que no se cumplan ninguna de las dos anteriores hipótesis, la función es asimétrica.

Ejercicios

Ejercicio 1

Sea la función f(-x) = x⁴-3x². Vamos a estudiar la simetría de la función evaluando f(-x).

Vemos que f(-x) = f(x), por lo que f es una función par.

Ejercicio 2

Ahora tenemos la función f(-x) = x³-4x. Análogamente, estudiamos la simetría:

En este caso, f(-x) = –f(x), siendo la función simétrica impar.

Ejemplo 3

Por último, ahora tenemos la función f(-x) = x³-4x²+3. Estudiemos la simetría evaluando f(-x).

No se cumplen ninguna de las dos condiciones, por lo tanto la función es asimétrica.