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Representación de funciones

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La representación de funciones es el mecanismo mediante el cual se representa gráficamente una función. Observando la gráfica se puede obtener mucha información acerca de cómo se comporta dicha función. Sea la función f definida por:


Expresión general de una función.

La gráfica de f consiste en dibujar el conjunto de pares ordenados (x , f(x)) de la función en coordenadas cartesianas.


Conjunto de puntos de una función para su representación

siendo Dom f el dominio de la función f.


Dibujo de la representación gráfica de una función.

Coordenadas cartesianas

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Las coordenadas de un punto P = (x,y) vienen determindas por un par ordenado de números x e y, llamados coordenadas cartesianas.

  • La primera coordenada x es la abscisa del punto P. Se mide en el eje horizontal OX o eje de abscisas.
  • La segunda coordenada y es la ordenada del punto. Se dibuja en el eje vertical OY o eje de ordenadas.

El punto de corte entre los dos ejes de coordenadas se llama origen y suele denotarse con la letra O.


Dibujo de la representación gráfica mediante las coordenadas cartesianas.

Ejercicio

Sea la función definida en los reales por la ecuación:


Ecuación de un ejemplo de función para la representación gráfica.

El valor de dentro de la raíz no puede ser negativo. Veamos cual es el dominio de la función:


Ecuación de un ejemplo de función para la representación gráfica.

Por lo tanto, lo puntos de la gráfica son:


Puntos de la gráfica de un ejemplo de función para su representación.

Y su representación gráfica es:


Gráfica de un ejemplo de función para su representación.

Características de la gráfica

Antes de proceder a dibujar la gráfica de una función es conveniente estudiar sus características para que nos sea más fácil.

Dominio de la función

El dominio de una función f es el subconjunto Dom f (o D) de elementos que tienen imagen. Es decir, el conjunto de elementos x de la variable independiente X que tienen imagen en Y. También se le llama campo de existencia de la función.


Dibujo del dominio de una función.

Recorrido de la función

El recorrido de una función f es el conjunto Im f (o Rec f) de todos los elementos que toma la variable dependiente. Es decir, el conjunto de todas las imágenes.

También se le llama rango de una función o codominio.


Dibujo del recorrido de una función.

Formalmente se define el recorrido de una función como:


Definición formal del recorrido de una función.

Las funciones en que el recorrido de la función Im f es el mismo que el conjunto final Y son funciones sobreyectivas.

Crecimiento y decrecimiento

La tasa de variación indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro. Esta tasa examina si la función crece o decrece en una región.

El crecimiento o decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo [a,b], en un punto x o en todo el dominio.


Dibujo presentación crecimiento - decrecimiento.

Máximos y mínimos

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).


Dibujo del máximo y el mínimo de una función.

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

Continuidad y discontinuidad

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.


Dibujo de una función continua y otra discontinua.

La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de la función:

Concavidad y convexidad

La concavidad y convexidad explica la forma geométrica que tiene una función.


Dibujo de una función cóncava y de una función convexa.

En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una función convexa a un valle.

Diremos que una función es cóncava (o cóncava hacia abajo) si dados dos puntos cualesquiera (M y N) de su gráfica, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función. También se llaman funciones estrictamente cóncavas.

Análogamente, diremos que la función es convexa (o cóncava hacia arriba) si tomando dos puntos cualquiera (M y N), el segmento que los une queda por encima de la curva. También se llaman funciones estrictamente convexas.


Dibujo de la concavidad y convexidad mediante un segmento.

Simetría

Una función f es simétrica si al doblar su gráfica por un eje de simetría ésta se superpone.


Dibujo de la gráfica de una función simétrica.

Existen dos tipos de simetrías:

  1. Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también se llaman funciones pares).
  2. Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas funciones impares).

Estudiar si la función es simétrica se llama estudio de la simetría o, al tratarse de funciones pares o impares, estudio de la paridad.

Las funciones que no son simétricas son asimétricas.

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