Función inyectiva

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Una función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.


Dibujo de una función inyectiva.

En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:


Fórmula de la condición de una función inyectiva.

Ejemplo 1

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Sea la función f(x) = 2x+1. Esta función es inyectiva ya que a cada elemento del conjunto final solo le corresponde un elemento del inicial.


Gráfica de una función que si que es inyectiva.

Veamos que se cumple la condición de inyectividad:


Demostración de la condición de inyectividad en un ejemplo.

En efecto, si x y y tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

Ejemplo 2

Ahora tenemos la función f(x) = x2-1. Vamos a ver que esta función no es inyectiva.


Gráfica de una función que no es inyectiva.

Como vemos en el gráfico anterior, f(-2)=3 y f(2)=3 tienen la misma imagen. En una función inyectiva no es posible que dos números diferentes tengan la misma imagen. Veamos que realmente no se cumple la condición de inyectividad:


Demostración de que no se cumple la condición de inyectividad en un ejemplo.

Como x y y pueden ser diferentes, ya que x y –x tienen la misma imagen, entonces f no es inyectiva.

Prueba de la recta horizontal

La prueba de la recta horizontal se realiza para comprobar si una función es o no inyectiva. Consiste en dibujar una recta horizontal paralela al eje de abscisas y ver en cuantos puntos corta dicha recta a la gráfica.

  • Si encontramos alguna recta horizontal que corta a la gráfica en dos o más puntos, la función no es inyectiva.
  • En cambio, si todas las rectas horizontales cortan en un máximo de un punto, la función es inyectiva.


Ejemplo de la prueba de la recta horizontal para ver si una función es inyectiva.

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