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Función logarítmica

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Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:


Expresión general de una función logarítmica.

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.


Dibujo de la gráfica de una función logarítmica.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Características

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Propiedades

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:

  1. Función logarítmica del producto:


    Fórmula de la función logarítmica del producto de dos elementos.

  2. Función logarítmica de la división:


    Fórmula de la función logarítmica de la división de dos elementos.

  3. Función logarítmica del inverso multiplicativo:


    Fórmula de la función logarítmica del inverso multiplicativo de un elemento.

  4. Función logarítmica de la potencia:


    Fórmula de la función logarítmica de la potencia de dos elementos.

Logaritmos

Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El logaritmo en base a de b es el elemento al que hay que elevar el número a para dé como resultado el número b.


Fórmula de la definición de un logaritmo.

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, ya que siendo a = 3 y b = 9, el número al que hay que elevar 3 para que dé 9 es 2, 32 = 9.

Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman algoritmos comunes.

Normalmente, cuando no se especifica la base, se entiende como función logarítmica la que tiene de base el número e (a = e = 2,7182818…). En este caso se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural) y suele escribirse: f(x) = ln x.

Ejercicio

Supongamos que tenemos la función logarítmica con a = 2, definida por la función:


Expresión de un ejemplo de función logarítmica.


Dibujo de la gráfica de un ejemplo de función logarítmica.

La función es continua en todos los números reales positivos.

Como a = 2 > 1, la función es creciente.

Como podemos ver en su gráfica, la función pasa por los puntos (1 , 0) y (2 , 1).

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