Función cóncava

Una función cóncava (o cóncava hacia abajo) es una función tal que dados dos puntos cualesquiera M y N de su gráfica, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función.

La concavidad y convexidad explican la forma que tiene la gráfica de la función. Visualmente, una función cóncava se asemeja a una montaña.

Una función convexa es lo contrario a una cóncava. Ésta visualmente se asemeja a un valle.

La concavidad de una función se puede estudiar en un punto, en un intervalo o en toda la función.

Propiedades

• Si f(x) es una función cóncava, entonces –f(x) es una función convexa.
• Si f(x) es una función convexa, entonces –f(x) es una función cóncava.

Función cóncava en un punto

Para estudiar si una función es cóncava en un punto x, debemos recurrir a la derivada segunda de la función. Sean f y f ' derivables.

Diremos que f es cóncava en el punto x si la segunda derivada de f en x es menor que 0 (f ''(x) < 0).

Función cóncava en un intervalo

Sea un intervalo [a,b]. La función f es cóncava en [a,b] si dados dos puntos cualesquiera M y N con coordenadas x₁ y x₂ del intervalo, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función.

También se puede estudiar la concavidad en un intervalo estudiando todos sus puntos.

La función f es cóncava en el intervalo [a,b] si f ''(x) < 0 para todo x del intervalo.

Función estrictamente cóncava

Una función que es cóncava en todos sus puntos también se puede llamar función estrictamente cóncava. Se cumple que el segmento une cualquier par de sus puntos queda siempre por abajoa de la función.

Una función estrictamente cóncava tendrá únicamente un máximo absoluto.

Ejercicio

Sea la función cuadrática f(x) = –x². Calculamos la segunda derivada de f, es decir f ''(x).

La segunda derivada es negativa, siendo f ''(x) = -2 < 0 en todos los puntos, por lo que la función es estrictamente cóncava en todo su dominio.

También podemos observar en el dibujo de la gráfica que cualquier segmento uniendo dos puntos M y N de la gráfica, queda por debajo de ésta.

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión x₀ es un punto donde la función cambia de concavidad (la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava).

Formalmente, para que un punto x₀ sea de inflexión es necesario que:

El número de puntos de inflexión depende de las raíces que tenga la segunda derivada de f.