Función cóncava

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Una función es cóncava (o cóncava hacia abajo) si dados dos puntos cualesquiera M y N de su gráfica, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función.


Dibujo de la función cóncava.

La concavidad y convexidad explican la forma que tiene la gráfica de la función. Visualmente, una función cóncava se asemeja a una montaña.

Una función convexa es lo contrario a una cóncava. Ésta visualmente se asemeja a un valle.

La concavidad de una función se puede estudiar en un punto, en un intervalo o en toda la función.

Propiedades

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Función cóncava en un punto

Para estudiar si una función es cóncava en un punto x, debemos recurrir a la derivada segunda de la función. Sean f y f ' derivables.

Diremos que f es cóncava en el punto x si la segunda derivada de f en x es menor que 0 (f ''(x) < 0).


Fórmula de una función cóncava en un punto.


Dibujo de una gráfica de una función cóncava en un punto.

Función cóncava en un intervalo

Sea un intervalo [a,b]. La función f es cóncava en [a,b] si dados dos puntos cualesquiera M y N con coordenadas x1 y x2 del intervalo, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función.


Dibujo de una gráfica de una función cóncava en un intervalo.

También se puede estudiar la concavidad en un intervalo estudiando todos sus puntos.

La función f es cóncava en el intervalo [a,b] si f ''(x) < 0 para todo x del intervalo.

Función estrictamente cóncava

Una función que es cóncava en todos sus puntos también se puede llamar función estrictamente cóncava. Se cumple que el segmento une cualquier par de sus puntos queda siempre por abajoa de la función.

Una función estrictamente cóncava tendrá únicamente un máximo absoluto.

Ejemplo

Sea la función cuadrática f(x) = –x2. Calculamos la segunda derivada de f, es decir f ''(x).


Derivada segunda de un ejemplo de función para el estudio de la concavidad.

La segunda derivada es negativa, siendo f ''(x) = -2 < 0 en todos los puntos, por lo que la función es estrictamente cóncava en todo su dominio.


Gráfica de un ejemplo de función estrictamente cóncava.

También podemos observar en el dibujo de la gráfica que cualquier segmento uniendo dos puntos M y N de la gráfica, queda por debajo de ésta.

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión x0 es un punto donde la función cambia de concavidad (la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava).

Formalmente, diremos que un punto x0 es de inflexión si:


Fórmula de los puntos de inflexión en el estudio de la concavidad y convexidad.

El número de puntos de inflexión depende de las raíces que tenga la segunda derivada de f.


Dibujo de los puntos de inflexión en el estudio de la concavidad y convexidad.

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