Crecimiento y decrecimiento de una función

El crecimiento y decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo [a,b], en un punto x o en todo el dominio.

La tasa de variación indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro. Esta tasa examina si la función crece o decrece en una región.

Crecimiento y decrecimiento en un intervalo

Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].

• Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del intervalo tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) < f(x₂). Es decir, es creciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.
  
• Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del intervalo tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) > f(x₂). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.
  
• Una función es constante entre a y b si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del intervalo tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) = f(x₂). Es decir, es constante en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, la variable dependiente y no varia.
  

Ver ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un intervalo

Crecimiento y decrecimiento en un punto

Sea una función f derivable en el punto a.

• La función f es creciente en a si f ’(a) > 0. Es decir, es creciente en a si la derivada es positiva.
  
• La función f es decreciente en a si f ’(a) < 0. Es decir, es decreciente en a si la derivada es negativa.
  
• La función f es constante en a si f ’(a) = 0 y además es la derivada es nula en los puntos muy próximos a a. Es decir, es constante si la derivada es nula en a y en un entorno de a.
  

  En este caso, se exige que la derivada sea nula también en la proximidad de a ya que o sino sería un máximo o mínimo.

Ver ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un punto

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento explican los trozos del dominio en los que la función crece o decrece.

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se realizará el siguiente procedimiento.

1. Derivar la función, obteniendo f ’(x).
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0.
   
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’.

   Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es decir, en (-∞,+∞)) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a estudiar serían  (-∞,1) ,  (1,3)  y  (3,+∞) .

4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, de manera que:
   

   Por ejemplo, si f ’(2)< 0, que es un punto interior de (1,3), entonces la función es decreciente en dicho intervalo.

5. A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Crecimiento y decrecimiento en todo el dominio

• Una función f es creciente en todo su dominio si es creciente en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) ≥ 0.
• Una función f es decreciente en todo su dominio si es decreciente en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) ≤ 0.
• Una función f es constante en todo su dominio si es constante en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) = 0.

En estos casos se trata de funciones monótonas.

Ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un intervalo

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=x² en los intervalos [-2,-1] y [1,3].

• Primero estudiamos la función en el intervalo [-2,-1], es decir a=-2 y b=-1. Veamos por ejemplo en el x₁=-1,8 y x₂=-1,2.
  

  La función en -1,8 es mayor que en -1,2, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x₁ y x₂, por lo que la función en [-2,-1] es decreciente.

• Acto seguido, se estudia el crecimiento y decrecimiento en el intervalo [1,3], es decir a=1 y b=3. Vamos a ver en los puntos x₁=1,5 y x₂=2,5.
  

  En el valor 1,5 la función f es menor que en el 2,5, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x₁ y x₂. Por lo tanto la función es creciente en el intervalo [1,3].

Ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un punto

Estudiar el crecimiento y decrecimiento en los puntos 0, 2 y 3 de la función f(x)=x³-5x²+5x+4.

Primero calcularemos la derivada de la función f:

• Veamos en el punto x=0.
  

  La derivada da f ’(0)=5 ≥ 0, por lo que f es creciente en 0.

• Estudiaremos en el punto x=2.
  

  La derivada da f ’(2)=-3 ≤ 0, por lo que f es decreciente en 2.

• Finalmente estudiaremos el punto x=3.
  

  La derivada da f ’(3)=2 ≥ 0, por lo que f es creciente en 3.

Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Sea la función f definida en los número reales (intervalo  (-∞,+∞) ):

Vamos a estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento que tiene.

1. Derivamos la función, obteniendo f ’(x).
   
2. Hallamos las raíces de la derivada:
   
3. Los intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’ serán:
   
4. Estudiamos el signo que toma la derivada en los valores interiores de cada intervalo, por ejemplo en el -1, el 1 y el 3:
   
5. Hallamos que:
   • f es creciente en  (-∞,0)  y en  (2,+∞) .
   • f es decreciente en  (0,2) .