Crecimiento y decrecimiento de una función

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La tasa de variación indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro. Esta tasa examina si la función crece o decrece en una región.

El crecimiento o decrecimiento de una función f se puede estudiar en un intervalo [a,b], en un punto x o en todo el dominio.


Dibujo presentación crecimiento - decrecimiento.

Crecimiento y decrecimiento en un intervalo

Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].

  • Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) < f(x2). Es decir, es creciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.


    Dibujo de una función creciente en un intervalo.

  • Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.


    Dibujo de una función decreciente en un intervalo.

  • Una función es constante entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) = f(x2). Es decir, es constante en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, la variable dependiente y no varia.


    Dibujo de una función constante en un intervalo.

Ver ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un intervalo

Crecimiento y decrecimiento en un punto

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Sea una función f derivable en el punto a.

  • La función f es creciente en a si f ’(a) > 0. Es decir, es creciente en a si la derivada es positiva.


    Dibujo de una función creciente en el punto a.

  • La función f es decreciente en a si f ’(a) < 0. Es decir, es decreciente en a si la derivada es negativa.


    Dibujo de una función decreciente en el punto a.

  • La función f es constante en a si f ’(a) = 0 y además es la derivada es nula en los puntos muy próximos a a. Es decir, es constante si la derivada es nula en a y en un entorno de a.


    Dibujo de una función constante en el punto a.

    En este caso, se exige que la derivada sea nula también en la proximidad de a ya que o sino sería un máximo o mínimo.

Ver ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un punto

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento explican los trozos del dominio en los que la función crece o decrece.

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se realizará el siguiente procedimiento.

  1. Derivar la función, obteniendo f ’(x).
  2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0.


    Fórmula de las raíces de la derivada.

  3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’.

    Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es decir, en ]-∞,+∞[) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a estudiar serían  ]-∞,1[ ,  ]1,3[  y  ]3,+∞[ .

  4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, de manera que:


    Fórmula del crecimiento o decrecimiento según el signo de la derivada.

    Por ejemplo, si f ’(2)< 0, que es un punto interior de ]1,3[, entonces la función es decreciente en dicho intervalo.

  5. A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Crecimiento y decrecimiento en todo el dominio

  • Una función f es creciente en todo su dominio si es creciente en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) ≥ 0.
  • Una función f es decreciente en todo su dominio si es decreciente en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) ≤ 0.
  • Una función f es constante en todo su dominio si es constante en todos sus puntos. Es decir, si para todo punto a, f ’(a) = 0.

En estos casos se trata de funciones monótonas.

Ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un intervalo

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=x2 en los intervalos [-2,-1] y [1,3].


Dibujo de un ejemplo de función para estudiar el crecimiento y decrecimiento en un intervalo.

  • Primero estudiamos la función en el intervalo [-2,-1], es decir a=-2 y b=-1. Veamos por ejemplo en el x1=-1,8 y x2=-1,2.


    Cálculo del crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo [-2,-1].

    La función en -1,8 es mayor que en -1,2, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x1 y x2, por lo que la función en [-2,-1] es decreciente.

  • Acto seguido, se estudia el crecimiento y decrecimiento en el intervalo [1,3], es decir a=1 y b=3. Vamos a ver en los puntos x1=1,5 y x2=2,5.


    Cálculo del crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo [1,3].

    En el valor 1,5 la función f es menor que en el 2,5, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x1 y x2. Por lo tanto la función es creciente en el intervalo [1,3].

Ejemplo de crecimiento y decrecimiento en un punto

Estudiar el crecimiento y decrecimiento en los puntos 0, 2 y 3 de la función f(x)=x3-5x2+5x+4.


Dibujo de un ejemplo de función para estudiar el crecimiento y decrecimiento en un punto.

Primero calcularemos la derivada de la función f:


Derivada de una función para estudiar el crecimiento y decrecimiento en un punto.

  • Veamos en el punto x=0.


    Cálculo de la derivada en el punto 0 para estudiar el crecimiento y decrecimiento.

    La derivada da f ’(0)=5 ≥ 0, por lo que f es creciente en 0.

  • Estudiaremos en el punto x=2.


    Cálculo de la derivada en el punto 2 para estudiar el crecimiento y decrecimiento.

    La derivada da f ’(2)=-3 ≤ 0, por lo que f es decreciente en 2.

  • Finalmente estudiaremos el punto x=3.


    Cálculo de la derivada en el punto 3 para estudiar el crecimiento y decrecimiento.

    La derivada da f ’(3)=2 ≥ 0, por lo que f es creciente en 3.

Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Sea la función f definida en los número reales (intervalo  ]-∞,+∞[ ):


Fórmula de un ejemplo de función para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Vamos a estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento que tiene.


Ejemplo de gráfica de una función para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

  1. Derivamos la función, obteniendo f ’(x).


    Derivada de un ejemplo de función para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

  2. Hallamos las raíces de la derivada:


    Cálculo de las raíces de la derivada de un ejemplo de función.

  3. Los intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’ serán:


    Intervalos de crecimiento y decrecimiento del ejemplo de función.

  4. Estudiamos el signo que toma la derivada en los valores interiores de cada intervalo, por ejemplo en el -1, el 1 y el 3:


    Signo de la derivada en los diferentes intervales para estudiar el crecimiento o decrecimiento.

  5. Hallamos que:
    • f es creciente en  ]-∞,0[  y en  ]2,+∞[ .
    • f es decreciente en  ]0,2[ .

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1 respuesta

  1. Domingo Serpa dice:

    Excellente se les felicita desde acá Venezuela! en espera de Límites – Próximamente
    Sucesiones – Próximamente
    Series – Próximamente
    Derivadas – Próximamente
    Integrales – Próximamente

    Saludos!

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