Vectores

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Dibujo de ejemplos de vectores

Un vector de dimensión n es un conjunto de números (que se llaman componentes del vector).


Fórmula general de un vector de dimensión n

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría, siendo el segmento orientado que une un punto A (origen) en un punto B (extremo).

Escalares y vectores

Son escalares, o magnitudes escalares, las que quedan definidas por un número algebraico. Ejemplos de escalares son el volumen de un cuerpo, la temperatura, el tiempo, el trabajo o la masa.

Los vectores, o magnitudes vectoriales, son los que no quedan definidas solamente con un número. Es necesario saber en qué dirección y sentido se aplican. Son vectores las fuerzas, la aceleración, el campo magnético, el vector posición o la velocidad.

Características del vector

A un vector lo representa una flecha, cuya longitud es proporcional a su valor numérico, llamado módulo del vector.

Otras características del vector son:

  • La dirección, o recta sobre la que está.
  • Sentido, que lo marca la flecha del vector (su segmento o dirección tendría dos posibles sentidos opuestos).
  • Punto de aplicación, que coincidiría, en su caso, con el punto origen del vector.


Dibujo de las características de un vector

Representación gráfica del vector

Un vector se denota con una letra con una flecha sobre ella $\vec{a}$, o con una letra en negrita. Utilizaremos la primera notación.

El módulo del vector lo representaremos así:


Módulo de un vector

Un vector puede tener una, dos o tres dimensiones.

En el plano, un vector tiene dos dimensiones. Por tanto se puede descomponer en sus componentes en el eje de las x y en el eje de las y:


Dibujo de un vector en un plano

Un vector en el espacio tiene las tres dimensiones.


Dibujo de un vector en un espacio

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector con módulo 1 o unidad.


Dibujo de un vector unitario

Representación cartesiana

Un vector se puede expresar en función de sus componentes:


Componentes de un vector

Pero también queda caracterizado por las coordenadas del extremo del vector:

En el plano sería:


Dibujo de un vector con componentes en un plano

Por ejemplo, el vector:


Dibujo de un ejemplo de vector en un plano

Y, en el espacio, el vector:


Dibujo de un vector con componentes en un espacio

Tipos de vectores

Existen los siguientes tipos de vectores:

  • Vectores iguales: tienen el mismo módulo, dirección y sentido.
  • Vectores opuestos: mismo módulo y dirección pero sentidos opuestos. Por ejemplo:


    Dibujo de un ejemplo de vectores opuestos

  • Vectores libres: son los que no varían cuando se desplazan paralelamente. Ejemplos de vectores libres, los momentos de las fuerzas o la velocidad de un cuerpo.


    Dibujo de un ejemplo de vectores libres

  • Vectores deslizantes: tienen el mismo módulo, dirección y sentido, pero varía el punto de aplicación. Son vectores deslizantes las fuerzas actuantes sobre un cuerpo rígido.


    Dibujo de un ejemplo de vectores deslizantes

Módulo de un vector

Conocidos los componentes cartesianos de un vector podemos saber el módulo de un vector.

Si tenemos un vector en el plano:


Fórmula de un vector en un plano

El módulo del vector será, aplicando el teorema de Pitágoras:


Fórmula del módulo de un vector en un plano

Ejemplo del cálculo del módulo de un vector en el plano, aplicando el teorema de Pitágoras:


Dibujo y cálculo del módulo de un ejemplo de vector en el plano por el teorema de Pitágoras

Si el vector está en el espacio, en 3D, la expresión sería, como se ha dicho antes:


Fórmula de un vector en un espacio

El módulo del vector en 3D, como fácilmente se puede comprobar, por aplicación sucesiva del teorema de Pitágoras, sería:


Fórmula del módulo de un vector en el espacio de 3 dimensiones

Ejemplo:


Dibujo y cálculo del módulo de un ejemplo de vector en el espacio

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Si se suman dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por ejemplo 10 w más 20 w son 30 w de potencia. Por el contrario, para sumar dos magnitudes vectoriales el proceso es más complejo, pues debemos de tener en cuenta dirección y sentido.

Conociendo los componentes cartesianos de los vectores a sumar, el vector resultante tendrá como componentes cartesianos la suma, eje a eje, de cada vector.

Si queremos sumar dos vectores en 3D y conocemos sus componentes, las componentes del vector suma, aplicando el mismo procedimiento, sería:


Fórmula de la suma de vectores en el espacio de 3 dimensiones

Por ejemplo:

Vamos a sumar dos vectores en tres dimensiones de los que sabemos sus coordenadas cartesianas:


Dibujo y resolución de un ejemplo de la suma de vectores en el espacio de 3 dimensiones

(5, 1, 2) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector suma.

El mismo procedimiento serviría para sumar dos vectores en el plano, ejes X e Y.


Dibujo y resolución de un ejemplo de la suma de vectores en el plano

Otro procedimiento para la suma de vectores es el método del paralelogramo. El método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores.

  1. Primero se dibujan ambos vectores a escala, con el punto de aplicación común.
  2. Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a ellos.
  3. El vector suma resultante ($\vec{a}$ + $\vec{b}$) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales.


    Dibujo y suma de vectores por los métodos del paralelogramo y de cabeza-cola

El método del triángulo o método cabeza-cola es una variante del método del paralelogramo. Se desplaza el vector $\vec{b}$ paralelamente hasta el extremo del vector $\vec{a}$. El lado que completa el triángulo es el vector suma ($\vec{a}$ +$\vec{b}$ ), cuyo inicio está en el extremo del primer vector $\vec{a}$ y su fin en el final del segundo vector sumando $\vec{b}.

Mediante las dos fórmulas equivalentes anteriores, derivadas del teorema del coseno obtenemos el módulo del vector suma:


Fórmula del módulo de la suma de vectores en el espacio de 3 dimensiones

(Se aplica sobre el ángulo (180° – α), opuesto al lado ($\vec{a}$ + $\vec{b}$) del triángulo. Como en los ángulos suplementarios se cumple que:


Requisitos del módulo de la suma de vectores en el espacio de 3 dimensiones

Por ejemplo:

Sean dos vectores en un plano de módulos 2 y 3, que forman un ángulo de 60° ¿Cuál es el vector suma?

El vector suma será la diagonal del paralelogramo con origen en el punto de aplicación de ambos vectores, o, lo que es lo mismo, el lado que completa el triángulo con el método cabeza-cola. El módulo del vector suma será:


Dibujo y resolución de un ejemplo del módulo de la suma de vectores.

Resta de vectores

Se procede igual que en la suma, bien operando con los componentes cartesianos, o bien mediante el método del paralelogramo.

Sabiendo los componentes cartesianos de los vectores, restaremos los componentes cartesianos del segundo vector de los del primero:


Fórmula de la resta de vectores

Por ejemplo:

Sean los vectores $\vec{a}$=(2,-3,4) y el vector $\vec{b}$=(3,4,-2):


Cálculo en un ejemplo de la resta de vectores en el espacio de 3 dimensiones

(-1, -7, 6) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector resta.

El mismo procedimiento serviría para restar dos vectores en el plano, de ejes x e y.

Otro procedimiento para la resta de vectores es el método gráfico. Ahora, con el método del paralelogramo tendremos que poner en el punto de aplicación del primer vector el punto de aplicación del vector opuesto. En otras palabras, la resta de dos vectores equivale a sumarle al primero el opuesto del segundo:


Fórmula de la resta de vectores como suma de un vector y el opuesto del que resta

Gráficamente, y tomando la resta de los mismos vectores que los del caso de la suma por el método gráfico del ejemplo anterior:


Dibujo y resolución de un ejemplo del módulo de la resta de vectores.

Vemos que la fórmula para hallar el módulo del vector resta es la misma que la del vector suma, teniendo en cuenta que ahora el ángulo que forman los vectores es el suplementario (ver ángulos suplementarios) del tomado en la suma.

En este ejemplo concreto, el módulo del vector resta seria 2,65. (Ver el teorema del coseno)

Al igual que en la suma de vectores, en la resta tenemos los procedimientos gráficos del paralelogramo y el del triángulo o cabeza-cola.

Vemos en las figuras cómo cambia el sentido cuando se invierte el orden de los términos de la resta.


Dibujo de la resta de vectores y comparación con la suma de vectores.

En las figuras se han superpuesto el método del paralelogramo en la suma con el de cabeza-cola para la resta.

Propiedades de la suma y resta de vectores

La suma de vectores tiene las propiedades:

  • Asociativa:

    $\vec{a}$ + ($\vec{b}$ + $\vec{c}$) = ($\vec{a}$ + $\vec{b}$) + $\vec{c}$

  • Conmutativa:

    $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{b}$ + $\vec{a}$

  • Elemento opuesto :

    $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = 0   cuando $\vec{a}$ = -$\vec{b}$

  • Elemento neutro :

    $\vec{a}$ + 0 = $\vec{a}$

La resta de vectores no cumple la propiedad conmutativa. Ya que:

$\vec{a}$ – $\vec{b}$ $\neq$ $\vec{b}$ – $\vec{a}$

Producto de un vector por un escalar

La multiplicación de un vector $\vec{v}$ por un escalar n es otro vector $\vec{nv}$ cuyo módulo será $|n| \:\cdot\: |\vec{v}|$.

Si n es positivo, el vector producto tendrá el mismo sentido. Si n es negativo, el vector producto tendrá el sentido opuesto.


Dibujo del producto de un vector por un escalar.

Lo mismo diremos de la división de un vector por un escalar.

Producto escalar

Diferente a lo anterior es el producto escalar de dos vectores. Llamamos producto escalar (o producto interno) de dos vectores que forman entre sí un ángulo α, a un número escalar (atención, no un vector) igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo α que forman.


Fórmula del producto escalar de dos vectores

También podemos decir que el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Esta proyección es:


Dibujo del producto escalar de dos vectores como proyección de uno sobre el otro

Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, el producto escalar será el producto de sus módulos (cos 0° = 1). En este caso, si los dos vectores fuesen iguales, el producto escalar sería igual a:


Dibujo y fórmula del producto escalar de dos vectores con la misma dirección

Si los dos vectores tienen la misma dirección pero sentido opuesto, el producto escalar será el producto de sus módulos con signo contrario (cos 180° = -1).


Dibujo y fórmula del producto escalar de dos vectores con la misma dirección pero sentido opuesto

Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar será nulo (cos 90° = 0).


Dibujo y fórmula del producto escalar de dos vectores perpendiculares

El producto escalar de dos vectores de los que conocemos sus componentes se puede resolver mediante matrices o determinantes:


Fórmula y ejemplo para calcular el producto escalar de dos vectores mediantes matrices o determinantes

En este ejemplo, el producto escalar es -2.

Un caso de producto escalar sería el trabajo (magnitud escalar) que realiza una fuerza, cuando ocasiona un desplazamiento. Es el producto del módulo de la fuerza por la proyección sobre la dirección de ésta del desplazamiento producido.

Producto vectorial

Se llama producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ a otro vector $\vec{c}$ cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman.

Para indicar el producto vectorial se usa tanto la notación $\vec{a}$ x $\vec{b}$ como $\vec{a}$ ∧ $\vec{b}$. Aquí utilizaremos la notación $\vec{a}$ ∧ $\vec{b}$ .


Fórmula del producto vectorial de dos vectores

La dirección del vector producto vectorial ($\vec{c}$) es perpendicular al plano que forman $\vec{a}$ y $\vec{b}$ y su sentido lo marca la regla de la mano derecha (o regla del sacacorchos).


Dibujo de la regla de la mano derecha para calcular el producto vectorial

El módulo del vector $\vec{c}$ es igual al número que representa el área del paralelogramo formado a partir de los dos vectores iniciales.


Dibujo del paralelogramo generado por a y b, siendo su área igual al producto vectorial

Se puede obtener el producto vectorial de dos vectores $\vec{a}$ (ax,ay,az) y $\vec{b}$ (bx,by,bz) mediante matrices:


Fórmula del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Veamos un ejemplo:


Ejemplo del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial será igual al producto de sus módulos (sen 90° = 1).

Pero si los vectores están en rectas paralelas o coincidentes, su producto vectorial es cero. Por lo tanto, será nulo el producto vectorial de un vector por sí mismo o por su opuesto (sen 0° = 0 y sen 180° = 0).

El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa, porque si se permutan los factores, el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta (propiedad anticonmutativa).


Propiedad anticonmutativa del producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial cumple la propiedad distributiva:


Propiedad distributiva del producto vectorial de dos vectores

Un ejemplo de producto vectorial es el momento de una fuerza respecto de un punto O. Este momento es otro vector $\vec{M}$ producto vectorial del vector posición $\vec{r}$, del punto de aplicación de la fuerza referido a O, por el vector fuerza $\vec{F}$ . O sea, $\vec{M}$ = $\vec{r}$ ∧ $\vec{F}$.

Producto de tres vectores: Producto mixto

Consideraremos el caso del llamado producto mixto de tres vectores. Es un número o magnitud escalar que se obtiene, partiendo del producto vectorial de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$, multiplicado escalarmente por un tercer vector $\vec{d}$.


Fórmula del producto mixto de tres vectores

En primer lugar, se resuelve el producto vectorial. El vector resultante se multiplica escalarmente por el vector $\vec{d}$.

Este producto de tres vectores es numéricamente igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{d}$.


Dibujo del paralelelepípedo generado por a, b y d

Efectivamente, hemos dicho antes que el módulo del producto vectorial es igual al área que forman los vectores factores, $\vec{a}$ y $\vec{b}$.

El módulo del producto escalar es: $│\vec{a}$ ∧ $\vec{b}│$ · │$\vec{d}│$ · cos α.

$│\vec{d}│$ · cos α) es la altura h del paralelepípedo formado por los vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{d}$, cuando se toma como base la cara formada por $\vec{a}$, $\vec{b}$. Esta es la demostración de que el producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo de la figura.

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