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Dinámica

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Dinámica del punto material

La Dinámica del punto material es la parte de la mecánica que estudia las características del movimiento y las causas que lo originan.

La fuerza es cuando sobre una partícula se produce una aceleración, la causa es una fuerza. Pero no siempre una fuerza ejercida sobre un cuerpo produce una aceleración. Pensemos que ejercemos una fuerza que sea insuficiente para deformar un resorte debido a su reacción elástica. O que empujamos sobre un muro, donde su reacción elástica impide cualquier movimiento.

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Medidas (S.I.) es el Newton (N), que es la fuerza necesaria para imprimir a una masa de 1 kg una variación de aceleración de 1 m/s2.

Momento de una fuerza

El momento \(\vec{M}\) de una fuerza \(\vec{F}\) con relación a un punto O es el producto vectorial del vector de posición \(\vec{r}\) con relación a un punto O, llamado también brazo, referido a O, del punto de aplicación de la fuerza por el vector fuerza \(\vec{F}\) .


Fórmula del momento de una fuerza

La dirección de \(\vec{M}\) es perpendicular al plano formado por \(\vec{r}\) y \(\vec{F}\). El sentido viene dado por la regla de la mano derecha: el dedo índice señala la dirección \(\vec{r}\), el dedo corazón o dedo medio \(\vec{F}\). El dedo pulgar señalará la dirección de \(\vec{M}\).


Dibujo de la regla de la mano derecha para ver el sentido de una fuerza

El módulo de \(\vec{M}\), por ser un producto vectorial, será:


Fórmula del módulo del momento de una fuerza

Cuando \(\vec{F}\) y \(\vec{r}\) estén alineados, el momento \(\vec{M}\) será nulo. Cuando \(\vec{F}\) y \(\vec{r}\) sean perpendiculares, el momento \(\vec{M}\) será máximo.

Teorema de Varignon. Debido a la propiedad distributiva del producto vectorial, el momento respecto a un punto de la fuerza resultante de otras fuerzas es igual a la suma de los momentos respecto a ese mismo punto de las fuerzas componentes.

La unidad del momento de una fuerza, en el S.I. es N.m.

Momento de un par de fuerzas

Un par de fuezas son dos fuerzas de igual intensidad y sentido contrario, separadas por una distancia d llamada brazo del par. Un par de fuerzas ocasiona un movimiento de rotación, no un movimiento de traslación.

Aunque la resultante de dos fuerzas iguales y de sentido contrario es nula, la resultante de los momentos de un par de furzas no lo es.

El momento de un par de fuerzas es un vector libre \(\vec{M}\) perpendicular al plano del par y de sentido determinado por la regla de la mano derecha o del sacacorchos.


Dibujo del momento de dos fuerzas

El módulo del momento de un par de fuerzas es el producto del módulo de una de las dos fuerzas por la distancia que separa a sus rectas directrices.


Fórmula del módulo del momento de un par de fuerzas

Las unidades, en el S.I. son N.m.

Un ejemplo de un par de fuerzas es cuando, con ambas manos, giramos el volante de un coche.


Dibujo de un ejemplo de momento de dos fuerzas, girando el volante de un coche.

Dinámica de los sistemas

Leyes de Newton (Principios de la dinámica)

Primer principio o ley de la inercia: un cuerpo permanecerá en su estado de movimiento rectilíneo uniforme o en estado de reposo si no se ejerce sobre él ninguna fuerza.

Segundo principio: La fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la aceleración que produce en éste multiplicada por una constante del cuerpo mencionado, a la que llamaremos masa.


Fórmula de la segunda Ley de Newton

A esta igualdad se la conoce como la ecuación fundamental de la Dinámica. Resume el primer y segundo principio de Newton, es decir, sin fuerza no hay cambio de velocidad (Ley de la inercia) y la aceleración es inversamente proporcional a la masa (segundo principio).

Tercer principio o ley de acción y reacción: cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro (acción), a su vez, el segundo cuerpo determina una fuerza igual y opuesta (reacción).

Cantidad de movimiento e impulso de una fuerza

Denominamos cantidad de movimiento (o también, momento lineal) de un cuerpo de masa m a un vector \(\vec{p}\) tal que:

\(\vec{p}\) = m · \(\vec{v}\)

La dirección del vector cantidad de movimiento \(\vec{p}\) es la misma que la del vector velocidad \(\vec{v}\).

Trasladando ésto a la ecuación fundamental de la Dinámica y considerando que la masa es una magnitud escalar invariable:


Fórmula de la cantidad de movimiento

Si multiplicamos esta igualdad por la fracción de tiempo durante el cual ejerce una fuerza \(\vec{F}\), tendremos:

\(\vec{F}\) · dt = d\(\vec{p}\)

Al primer término, \(\vec{F}\) · dt, lo llamamos impulso de una fuerza (\(\vec{I}\)), o simplemente impulso y es un vector con la misma dirección que la fuerza y módulo \(|\vec{F}|\) · dt. El segundo término, es la variación de la cantidad de movimiento.

Teorema de la cantidad de movimiento

El impulso total de una fuerza o sistema de fuerzas aplicadas durante un tiempo es igual a la variación de la cantidad de movimiento que produce.

∑ \(\vec{F}\)  ·  dt = ∑ d\(\vec{p}\) = \(\vec{p}\) – \(\vec{p}\)0

Expresado de manera más adecuada:


Fórmula del impulso total de una fuerza

Tanto el impulso como la cantidad de movimiento se expresan en N · s, o lo que es lo mismo, en kg · m · s-1.

Trabajo de una fuerza

Si una fuerza \(\vec{F}\) constante ejerce su acción sobre un punto material y ocasiona un movimiento, llamaremos trabajo (símbolo W, del inglés work) de una fuerza \(\vec{F}\) al producto escalar del módulo de esa fuerza por el del vector \(\vec{r}\) que representa el desplazamiento producido por la misma.


Fórmula del trabajo de una fuerza

El trabajo W es, por tanto, una magnitud escalar.

En el Sistema Internacional de Medidas (S.I.), la unidad de trabajo es el julio (o, también, joule). Un julio (símbolo: J) es el trabajo que produce una fuerza constante de 1 newton sobre una masa cuando ocasiona en ella un desplazamiento de 1 metro en la misma dirección de la fuerza.

Potencia o potencia mecánica

Se llama potencia (P) al trabajo realizado en la unidad de tiempo. La expresión es:


Fórmula de la potencia o potencia mecánica

Si dividimos el tiempo en intervalos elementales, la expresión más adecuada de la potencia será:


Fórmula de la potencia dividiendo el tiempo en intervalos elementales

La potencia P es una magnitud escalar.

La unidad de potencia en el Sistema Internacional es el vatio. Un vatio (símbolo: W, del matemático e ingeniero James Watt) es la potencia necesaria para realizar el trabajo de un julio en un tiempo de un segundo.

Energía

La energía es la capacidad de un cuerpo o de un sistema de cuerpos para generar un trabajo. Energía y trabajo son magnitudes equivalentes, por lo que se expresarán con las mismas unidades.

Energía cinética

La energía cinética es la capacidad de un cuerpo en movimiento para generar un trabajo. Pensemos en una taco de billar en movimiento que es capaz de generar el trabajo de impulsar una bola al impactar con ella.

La ecuación de la energia cinética, en mecánica, es:


Fórmula de la energía cinética

¿Cómo se obtiene?

A partir de la ecuación fundamental de la dinámica:


Fórmula de la ecuación fundamental de la dinámica

Como el trabajo W realizado por la fuerza F es igual a la energia cinética Ec que adquiere el cuerpo:


Fórmula de la fuerza como la energía cinética

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores, tendremos:


Cálculo de la fórmula de la energía cinética

A partir de esto se deriva el siguiente teorema.

Teorema de la energía cinética

El trabajo que realiza una fuerza sobre una masa inicialmente en reposo es igual a la energia cinética que adquiere ese cuerpo.

Energía potencial

En mecánica, la energía potencial es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en función de su posición. Podemos distinguir dos clases de energía potencial: la energia potencial gravitatoria y la energia potencial elástica.

Energía potencial gravitatoria

En el campo de gravedad terrestre, llamamos energía potencial gravitatoria de un cuerpo en un punto, a la que posee respecto al punto de referencia que es el nivel de la superficie de la Tierra. Si partimos de ese nivel y elevamos una masa m hasta una altura h, esa masa adquiere una energia potencial. Su expresión es:


Fórmula de la energía potencial gravitatoria

Donde g es la aceleración de la gravedad ( a nivel del mar, g = 9.81 m/s2).

¿Cómo se obtiene?

De las ecuaciones del MRUA tenemos las fórmulas siguientes:

v = g · t

h = 1/2 · g · t2

Se sustituye aquí la aceleración a por g y el espacio o posición x por h).

Despejando t en la primera y sustituyéndola en la segunda, tenemos:


Cálculo 1 para ver como se obtiene la fórmula de la energía potencial gravitatoria

Como la energía cinética que adquiriria al llegar al suelo el cuerpo si se le soltase desde la altura h sería:


Fórmula de la energía cinética

Sustituyendo la expresión de la velocidad v que tendría en el momento del impacto, resulta:


Cálculo 2 para ver como se obtiene la fórmula de la energía potencial gravitatoria

Sólo se puede medir variaciones de energia potencial gravitatoria, ya que se toma su variación desde puntos de referencia. Seguiría disminuyendo si, desde el nivel del mar dejásemos caer el cuerpo en un pozo.

Energía potencial elástica

La energía potencia elástica es la capacidad que tiene un cuerpo elástico (resorte, muelle, un arco, etc.) para realizar un trabajo según de la posición en que se encuentre respecto a su posición de equilibrio. Su expresión es:


Fórmula de la energía potencial elástica

Donde k es la constante elástica o constante recuperadora y x el desplazamiento.

Principio de conservación de la energía mecánica

En un sistema aislado, se mantiene constante la energía total del sistema.

Em = Ec + Ep

Imaginemos que tenemos un cuerpo de masa m inmóvil a una altura h sobre el suelo.

En ese momento, su energía cinética Ec = 0 y su energia potencial gravitatoria es Epg = m · g · h. Pero, en el momento de chocar contra el suelo, la energia potencial gravitatoria será nula y su energia cinètica:


Fórmula de la energía potencial elástica

En el proceso, toda la energia potencial se ha transformado en cinética.


Dibujo de un ejemplo de principio de conservación de la energia

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