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Trigonometría

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TRIGONOMETRÍA
  1. ¿Qué es la trigonometría?
  2. Razones trigonométricas
  3. Razones trigonométricas recíprocas
  4. Funciones trigonométricas inversas
  1. Identidades trigonométricas
  2. Teoremas trigonométricos
  3. Propiedades de razones trigonométricas

¿Qué es la trigonometría?

Dibujo del triángulo rectángulo con sus lados y ángulos

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y ángulos de los triángulos. Se ocupa, por tanto, de las funciones asociadas a los ángulos, denominadas funciones trigonométricas (también pueden denominarse funciones circulares): seno, coseno, tangente, secante,…

Etimológicamente, trigonometría significa medida de los triángulos, ya que proviene de las palabras griegas trigono (triángulo) y metría (medida).

La trigonometría tiene innumerables aplicaciones en diversos campos de la ciencia: de una u otra manera en todos los campos de las matemáticas; en la física, por ejemplo en fenómenos ondulatorios; en la astronomía, por ejemplo para medir distancias entre planetas; en la geodesia, etc.


Dibujo de las funciones trigonoméricas de un triángulo sobre una circunferencia de radio 1

Razones trigonométricas

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Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas de ángulos característicos

El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:


Tabla de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º).

Razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas recíprocas son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas. Éstas son:

  • Cosecante (csc): es la razón recíproca del seno. Es decir, csc α · sen α=1.
  • Secante (sec): la razón recíproca del coseno. Es decir, sec α · cos α=1
  • Cotangente (cot): es la razón recíproca de la tangente. También en este caso, cot α · tan α=1

Definición de las razones trigonométricas recíprocas

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.

Razones trigonométricas recíprocas de ángulos característicos

Las razones trigonométricas recíprocas de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:


Tabla de las razones trigonométricas recíprocas (cosecante, secante, cotangente) de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º).

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.


Tabla de la relación entre razones trigonométricas.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente).

Las razones trigonométricas no son funciones biyectivas (1-a-1), por lo que no son invertibles. Para que lo sean, es necesario restringir su dominio y así poder hallar la función inversa.

Las funciones trigonométricas inversas son:

Arcoseno

El arcoseno es la función inversa del seno. Es decir:


Fórmula de la arcoseno

Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:


Composición del arcoseno y el seno.

Su abreviatura es arcsen o sen-1.


Gráfica de la función del arcoseno.

Arcocoseno

El arcocoseno es la función inversa del coseno. Es decir:


Fórmula de la arcocoseno

Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:


Composición del arcocoseno y el coseno.

Su abreviatura es arccos o cos-1.


Gráfica de la función del arcocoseno.

Arcotangente

La arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir:


Fórmula de la arcotangente

Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:


Composición de la arcotangente y la tangente.

Su abreviatura es arctan o tan-1.


Gráfica de la función del arcotangente.

Identidades trigonométricas

Relaciones trigonométricas básicas

Teoremas trigonométricos

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A continuación vamos a enumerar los teoremas trigonométricos más importantes.

Teorema del seno

El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).


Fórmula del teorema del seno

Dibujo del triángulo circunscrito en una circunferencia

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.

Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.


Fórmula del teorema del seno siendo las razones proporcionales al diámetro de la circunferencia en la que se circunscribe el triángulo.

Teorema del coseno

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.


Fórmula del teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 =  b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Teorema de la tangente

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.


Fórmula del teorema de la tangente


Propiedades de las razones trigonométricas

Las razones trigonométricas del ángulo suma (α+β), resta (α-β), doble (2α), mitad (α/2) y triple (3α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de ambos ángulos.

Razones trigonométricas del ángulo suma

Razones trigonométricas del ángulo resta

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Razones trigonométricas del ángulo triple

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5 Respuestas

  1. sarai dice:

    muy buena pagina!!!

  2. vastinoejimenez dice:

    me han dejado problemas de las cevianas externas e internas y no se como resolver

    • Respuestas dice:

      Consulta “elementos notables de un triángulo” en Universo Fórmulas”.
      Espero que te sea útil.

  3. pablo-XD dice:

    a mi tambien :p

  4. luz marina dice:

    me ayudo mucho en mis tareas de matemática gracias

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