Funciones definidas a trozos

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Una función es una función definida a trozos (o función por partes) si tiene distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable independiente (x).

Por ejemplo:


Expresión de una función definada a trozos.


Dibujo de una función definida a trozos.

La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo ]-∞,1[, por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2.

Continuidad de funciones por partes

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Las funciones definidas a trozos son continuas si son continuas en todo su dominio, es decir:

  • La función es continua en los trozos donde está definida.
  • La función es continua en los puntos de división de los trozos.


Función definida a trozos continua en su dominio.

Ejemplo

Estudiar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función definida a trozos:


Fórmula de una función definida a trozos para el estudio de la continuidad en el punto 1

Para ello, debemos estudiar la continuidad en los tres trozos (en los intervalos  ]-∞,1[ ,  [1,4]  y  ]4,+∞[ ) y en los puntos de división x=1 y x=4.


Gráfica de una función definida a trozos para el estudio de la continuidad en el punto 1

La función es continua en todos sus trozos, ya que f(x)=-x+2, f(x)=1 y f(x)=x-2 son funciones lineales, que son continuas en todo su dominio.

Veamos ahora que es continua en el punto x=1, viendo que se cumplen las tres condiciones:

  • La función f existe en 1 y su imagen es:


    Existencia de imagen en la continuidad en el 1 de una función definida a trozos.

  • Existe el límite de f en el punto x = 1:


    Existencia del límite en la continuidad en el 1 de una función definida a trozos.

  • La imagen de 1 y el límite de la función en 1 coinciden:


    Igualdad de la imagen y del límite en la continuidad en el 1 de una función definida a trozos.

Se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, por lo que la función es continua en x=1.

Ahora veamos si es continua en el punto x=4

  • La función f existe en 4 y su imagen es:


    Existencia de imagen en la continuidad en el 4 de una función definida a trozos.

  • Veamos que no existe el límite de f en el punto x = 4:


    Existencia del límite en la continuidad en el 4 de una función definida a trozos.

Como la función no tiene límite en 4, podemos decir que f es discontinua en x=4.

Por lo tanto, la función f es continua en todo su dominio menos en x=4.

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