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Cóncavo y convexo

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El concepto de cóncavo y convexo explica la forma geométrica que tiene una función.


Dibujo de los conceptos de cóncavo y convexo.

En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una función convexa a un valle.

Diremos que una función es cóncava (o cóncava hacia abajo) si dados dos puntos cualesquiera (M y N) de su gráfica, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función. También se llaman funciones estrictamente cóncavas.

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Análogamente, diremos que la función es convexa (o cóncava hacia arriba) si tomando dos puntos cualquiera (M y N), el segmento que los une queda por encima de la curva. También se llaman funciones estrictamente convexas.


Dibujo de la concavidad y convexidad mediante un segmento.

Sean f y f ' derivables. Si estudiamos la función analíticamente, diremos que f es convexa en un punto x si la segunda derivada es mayor que 0 (f ''(x) > 0) y cóncava si es menor que 0 (f ''(x) < 0).


Fórmula de la convexidad y concavidad en un punto mediante las derivadas.

El concepto de cóncavo y convexo se puede estudiar en toda la función o a nivel local en un punto (concavidad y convexidad en un punto) o en un intervalo (concavidad y convexidad en un intervalo).

Propiedad

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión x0 es un punto donde la función cambia de concavidad (la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava).

Formalmente, diremos que un punto x0 es de inflexión si:


Fórmula de los puntos de inflexión en el estudio de la concavidad y convexidad.

El número de puntos de inflexión depende de las raíces que tenga la segunda derivada de f.


Dibujo de los puntos de inflexión en el estudio de la concavidad y convexidad.

Estudio de la convexidad y concavidad de una función

Para estudiar la convexidad y concavidad de una función, debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Calculamos la segunda derivada de f, es decir f ''.
  2. Resolvemos la ecuación f ''(x) = 0 y calculamos las raíces. Estas raíces serán los puntos de inflexión.
  3. Dibujamos la recta real y sobre ella marcamos las raíces de f '' y los puntos de discontinuidad de la función (si los tuviese).


    Dibujo de la recta real con los puntos de inflexión en el estudio de la concavidad y convexidad.

    Creamos intervalos entre los puntos de inflexión. Dentro de estos intervalos la función siempre será o convexa o cóncava.

  4. Estudiamos el signo de f ''(x) en los intervalos anteriores. Para ello tomamos un punto xi cualquiera dentro de cada intervalo y hallamos la segunda derivada de f en dicho punto, f ''(xi).


    Dibujo de la concavidad y convexidad de la función dentro de los intervalos.

    • Si f ''(xi) es positivo, la función es convexa en ese intervalo.
    • Si f ''(xi) es negativo, la función es cóncava en ese intervalo.

Ejercicio

Sea la función f derivable dos veces, definida por:


Ejemplo de una función para el estudio de la concavidad y convexidad.

Vamos a estudiar en que tramos la función es cóncava o convexa.

  1. Primero se calcula la segunda derivada de f, f ''.


    Derivada segunda de un ejemplo para el estudio de la concavidad y convexidad.

  2. Resolvemos la ecuación f ''(x) = 0 y calculamos las raíces, para obtener los puntos de inflexión.


    Puntos de inflexión de un ejemplo para el estudio de la concavidad y convexidad.

  3. Dibujamos la recta real y sobre ella marcamos las dos raíces de f '', r1 = -2 y r2 = 2. No existe ningún punto de discontinuidad.


    Dibujo de la recta real con los puntos de inflexión en el ejemplo para el estudio de la concavidad y convexidad.

    Creamos intervalos entre los puntos de inflexión. En este caso tendremos 3 intervalos: ]-∞ , -2[, ]-2 , 2[ y ]2 , +∞[.

  4. Ahora estudiamos el signo de f ''(x) en los intervalos anteriores. Para ello tomamos los puntos x1 = -4, x2 = 0 y x3 = 4.


    Cálculo de la segunda derivada en los intervalos para el estudio de la concavidad y convexidad.

    Y si lo representamos en un dibujo:


    Estudio de los intervalos de un ejemplo de función para el estudio de la concavidad y convexidad.

    Obteniendo que:

    • f es convexa en ]-∞ , -2[ y ]2 , +∞[.
    • f es cóncava en ]-2 , 2[.


Dibujo de la gráfica de una función para el estudio de la concavidad y convexidad.

Concavidad y convexidad en un punto

Para estudiar la concavidad o convexidad de una función en un punto x, debemos recurrir a la derivada segunda de la función. Sean f y f ' derivables.

Diremos que f es convexa en x si la segunda derivada de f en x es mayor que 0 (f ''(x)>0).


Fórmula de una función convexa en un punto.


Dibujo de una gráfica de una función convexa en un punto.

Análogamente, diremos que f es cóncava en x si la segunda derivada de f en x es menor que 0 (f ''(x)<0).


Fórmula de una función cóncava en un punto.


Dibujo de una gráfica de una función cóncava en un punto.

Concavidad y convexidad en un intervalo

Sea el intervalo [a,b]. Para estudiar la concavidad y convexidad en el intervalo podemos seguir dos métodos:

La función f es cóncava en [a,b] si dados dos puntos cualesquiera M y N de coordenadas x1 y x2 dentro del intervalo, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función.


Dibujo de una gráfica de una función cóncava en un intervalo.

Del mismo modo, la función f será convexa en [a,b] si dados dos puntos cualquiera M y N con coordenadas x1 y x2 dentro del intervalo, el segmento que los une queda por encima de la curva.


Dibujo de una gráfica de una función convexa en un intervalo.

También podemos estudiar la convexidad y concavidad a partir de las derivadas.

  • Diremos que f es convexa en [a,b] si f ''(x) > 0 para todo x del intervalo.
  • En cambio, la función f es cóncava en [a,b] si f ''(x) < 0 para todo x del intervalo.

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