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Continuidad en un punto

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La continuidad en un punto estudia si una función es continua en un punto. También se puede estudiar la continuidad en un intervalo o la continuidad lateral.

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

En particular, una función f es continua en un punto x = a si cumple las siguientes condiciones:


Dibujo de una función continua en un punto.

  1. La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.


    Condición de existencia de imagen en la continuidad en un punto.

  2. Existe el límite de f en el punto x = a:


    Condición de existencia del límite en la continuidad en un punto.

  3. La imagen de a y el límite de la función en a coinciden.


    Condición de igualdad de la imagen y del límite en la continuidad en un punto.

En el caso de que en un punto x = a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la función es discontinua en a.


Dibujo de los tres casos en los que una función es discontinua en un punto.

Nota: se expresa en el caso 1 con un punto hueco para indicar que ese punto no se incluye en la gráfica.

Ejemplo

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Estudiar la continuidad o discontinuidad en x=1 y x=4 de la siguiente función definida a trozos:


Fórmula de una función definida a trozos para el estudio de la continuidad en el punto 1


Gráfica de una función definida a trozos para el estudio de la continuidad en el punto 1

Veamos primero si es continua en x=1, viendo que se cumplen las tres condiciones:

  • La función f existe en 1 y su imagen es:


    Existencia de imagen en la continuidad en un punto de una función definida a trozos.

  • Existe el límite de f en el punto x = 1:


    Existencia del límite en la continuidad en un punto de una función definida a trozos.

  • La imagen de 1 y el límite de la función en 1 coinciden:


    Igualdad de la imagen y del límite en la continuidad en un punto de una función definida a trozos.

Se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, por lo que la función es continua en x=1.

Ahora veamos si es continua en el punto x=4

  • La función f existe en 4 y su imagen es:


    Existencia de imagen en la continuidad en el 4 de una función definida a trozos.

  • Veamos que no existe el límite de f en el punto x = 4:


    Existencia del límite en la continuidad en el 4 de una función definida a trozos.

Como la función no tiene límite en 4, podemos decir que f es discontinua en x=4.

Por lo tanto, la función f es continua en x=1 pero discontinua en x=4.

2 Respuestas

  1. Gaizka dice:

    Me ha ayudado a entenderlo

  2. Veronica Uribe dice:

    Tengo que resolver unos ejercicios pero no tengo tiempo pueden ayudarme

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