Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

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La inyectividad, sobreyectividad y biyectividad dan información acerca de como se relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y.

Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y).


Expresión general de una función.


Dibujo de una función entre dos conjuntos.

Función inyectiva

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La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.


Dibujo de una función inyectiva.

En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:


Fórmula de la condición de una función inyectiva.

Ejemplo de función inyectiva

La función f(x) = 2x+1 es inyectiva.


Gráfica de una función que si que es inyectiva.

Veamos que se cumple la condición de inyectividad:


Demostración de la condición de inyectividad en un ejemplo.

En efecto, si x y y tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

Función sobreyectiva

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.


Dibujo de una función sobreyectiva.

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y.

En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:


Fórmula de la condición de una función sobreyectiva.

Ejemplo de función sobreyectiva

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.


Gráfica de la función sobreyectiva f(x)=x+1.

Esta función si que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.


Demostración de que la función f(x)=x+1 es sobreyectiva.

El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.

Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).


Dibujo de una función biyectiva.

Teóricamente, una función f es biyectiva si:


Fórmula de la condición de una función biyectiva.

Ejemplo de función biyectiva

La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.


Gráfica de una función que si que es biyectiva.

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:


Demostración de la condición de inyectividad en un ejemplo de función biyectiva.

Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.


Demostración de la condición de sobreyectividad en un ejemplo de función biyectiva.

La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.

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17 Respuestas

  1. Mileiser Colmenarez dice:

    ¡¡Muchass Gracias!! Fue de gran ayuda. ¿Por casualidad no tienen el tema de logaritmos indeterminados?

  2. Julian dice:

    Muy didactico! Recomendaría cambiar/agregar los ejemplos para cubrir los casos de funciones inyectivas y no sobreyectiva y viceverza

  3. Rafael Mora C dice:

    Puede sobrar un elemento en el conjunto inicial/dominio?

  4. Efrén Giraldo dice:

    Saludos. Respetuosamente creo que en el primer gráfico de función inyectiva tienes un error. Al elemento 3 no tener otro elemento correspondiente en el conjunto de llegada no es función.

    • Respuestas dice:

      Efrén, te agradecemos el tono de tu comentario. El elemento no debe pertenecer al campo de existencia o dominio de la función y debe estar fuera de ese subconjunto de los números reales.
      Un saludo de Universo Fórmulas.

  5. es buena definicion.. no entendi la biyectiva.. y las formulas estas bien ..gracias a mi si me sirvio

  6. jezuz dice:

    son muy buenas las preguntas…???

  7. maria rodrigue dice:

    muy buen trabajo

  8. Richard dice:

    Excelente trabajo 😀 🙂

  9. Francisco dice:

    Icorrecto. Todo elemento del dominio tiene una imagen. El subconjunto que se encuentra en el conjuto Y es denominado recorrido, la condicion de funcion es que cada elemento x de X tenga al menos un elemento y de Y, pero no la inversa. De otra forma seria f(y).

  10. Alessandro Daniele dice:

    Buenas, creo que hay un problema en el ejercicio de la inyectiva, se puede ver que el conjunto de partida(o el Dominio) no todos estan relacionados y cuando no estan todos relacionados no cumple con la primera condicion para que sea funcion. Por ello se puede concluir que no es funcion es solo una relacion entre conjuntos y gracias a eso no se puede clasificar. De resto los ejercicios estan bien. Estudiante de segundo año bachillerato.

  11. PABLO ESPINOZA dice:

    INTERESANTE EL TRABAJO Y DE FÁCIL ASIMILACIÓN MUY DIDÁCTICO
    FELICITACIONES.

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