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Continuidad en un intervalo

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La continuidad en un intervalo estudia si una función es continua en cierto intervalo.

Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].


Dibujo de la continuidad de una función en un intervalo.

Se pueden diferenciar cuatro casos, según si el intervalo es abierto (no incluye a y b), cerrado (inlcuye a y b), abierto por la izquierda (no incluye a) o abierto por la derecha (no incluye b).

  • Intervalo abierto ]a,b[. Un intervalo abierto es aquel que contiene sólamente los puntos interiores pero no a los dos extremos a y b. Se representa entre corchetes invertidos ]a,b[ o con dos paréntesis (a,b).

    La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.

  • Intervalo cerrado [a,b]. Un intervalo cerrado es aquel que contiene los puntos interiores pero también a los dos extremos a y b. Se representa entre corchetes.

    La función es continua si:

  • Intervalo abierto por la izquierda ]a,b] (no incluye a). La función es continua si:
  • Intervalo abierto por la derecha [a,b[ (no incluye b). La función es continua si:

Ejemplo

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Estudiar la continuidad de la función f en el intervalo [1,4], siendo f:


Ejemplo de una función para estudiar la continuidad en un intervalo.

  • f es continua en todos los puntos interiores ]1,4[. La función definida en este intervalo es f(x)=1, que al tratarse de una función constante es continua.
  • Ahora veamos si f es continua por la derecha en 1, es decir, si f(1) y el límite por la derecha en 1 coinciden:


    Continuidad de una función en el extremo inferior del intervalo.

  • Por último, vemos si f es continua por la izquierda en 4, viendo si f(4) y el límite por la izquierda en 4 coinciden:


    Continuidad de una función en el extremo superior del intervalo.

Como f es continua dentro del intervalo y en los extremos, vemos como la función es continua en el intervalo [1,4].


Dibujo de una función continua en el intervalo [1,4].

1 respuesta

  1. Harry Emilio Tejada dice:

    Es un sitio dinámico y muy objetivo. Para aprender, repasar, corregir lagunas y enseñar. Metodología clara y fácil de explicarse sin perder el rigor científico.

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