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Imagen y antiimagen

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La imagen y antiimagen son los elementos que hacen corresponder una función.

Imagen

Una función f es la relación que asigna a un elemento de un conjunto X otro elemento del conjunto Y.


Expresión general de una función.

La imagen de un elemento x mediante f es el elemento y que le hace corresponder la función a un valor x.


Imagen de un elemento mediante una función.

Todos los elementos de X tienen, como mucho, una imagen en Y.

El conjunto de todas las imágenes del conjunto X forman el recorrido de la función (Rec f o Im f). Este conjunto también se denomina conjunto imagen de f.


Dibujo del recorrido de una función.

Formalmente se define el recorrido de una función como:


Definición formal del recorrido de una función.

Ejemplo de la imagen

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Calcular la imagen de x=1 y x=3 de mediante la función:


Ejemplo de función para calcular imágenes.

  • Calculamos primero la imagen de x=1:


    Cálculo de la cálculo de la imagen de x=1.

  • Ahora se calcula la imagen de x=3:


    Cálculo de la cálculo de la imagen de x=3.

Se obtiene que la imagen de 1 es f(1)=1 y la de 3 f(3)=1,5.


Gráfica de ejemplo de función para calcular las imágenes.

Antiimagen

La antiimagen mediante una función f de un elemento y del conjunto final es el elemento (o elementos) x tales que la imagen de x es y. Es decir:


Fórmula de la antiimagen de un elemento mediante una función.


Antiimagen de un elemento mediante una función.

Los elementos de Y pueden tener una o varias antiimágenes en X.

Al conjunto de todas las antiimágenes del conjunto final Y forman el dominio de la función (Dom f o D).


Dibujo del dominio de una función.

Cálculo de la antiimagen

La antiimagen mediante una función f de un elemento y se puede calcular mediante el seguiente procedimiento:

  1. Calcular la función inversa, es decir, f -1. Para ello, a partir de la función y=f(x), debemos poner x en función de y.

    Por ejemplo si y=f(x)=x-2, entonces x=y+2 y tendríamos que f -1(x)=x+2.

  2. Aplicar f -1 sobre y, ya que la antiimagen de y será f -1(y).

Ejemplo de la antiimagen

Calcular la antiimagen de y=10 siendo la función f(x)=x2+1.

  1. Se calcula la función inversa de f.


    Cálculo de la función inversa para el cálculo de la antiimagen.

  2. Aplicamos la función f-1 en y=10.


    Cálculo de la antiimagen mediante la función inversa en y=10.

    Y se obtiene que y=10 tiene dos antiimágenes, x1=-3 y x2=3.


Gráfica de la función para ver las antiimágenes de 10.

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