Funciones continuas y discontinuas

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Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.


Dibujo de una función continua y otra discontinua.

La continuidad de una función se estudia en diferentes sectores de la función:

Continuidad en un punto

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Una función f es continua en un punto x = a si cumple las tres condiciones siguientes:


Dibujo de una función continua en un punto.

  1. La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.


    Condición de existencia de imagen en la continuidad en un punto.

  2. Existe el límite de f en el punto x = a:


    Condición de existencia del límite en la continuidad en un punto.

  3. La imagen de a y el límite de la función en a coinciden.


    Condición de igualdad de la imagen y del límite en la continuidad en un punto.

En el caso de que en un punto x = a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la función es discontinua en a.


Dibujo de los tres casos en los que una función es discontinua en un punto.

Nota: se expresa en el caso 1 con un punto hueco para indicar que ese punto no se incluye en la gráfica.

Ver ejemplo de continuidad en un punto

Continuidad lateral

La continuidad lateral de una función f estudia si ésta es continua en los laterales de un punto x=a. Por lo tanto, se estudia la continuidad lateral a izquierda o derecha.


Dibujo de una función continua en el lateral izquierdo y derecho.

  • Continuidad lateral por la izquierda:

    Una función f es continua por la izquierda en a si:


    Condición para que una función sea continua por la izquierda.

    Es decir, si la función se aproxima por el lateral de la izquierda a la imagen de a.


    Dibujo de una función continua en el lateral izquierdo.

  • Continuidad lateral por la derecha:

    Una función f es continua por la derecha en a si:


    Condición para que una función sea continua por la derecha.

    Es decir, si la función se aproxima por el lateral de la derecha a la imagen de a.


    Dibujo de una función continua en el lateral derecho.

Ver ejemplo de continuidad lateral

Continuidad en un intervalo

Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].


Dibujo de la continuidad de una función en un intervalo.

Se pueden diferenciar cuatro casos, según si el intervalo es abierto (no incluye a y b), cerrado (inlcuye a y b), abierto por la izquierda (no incluye a) o abierto por la derecha (no incluye b).

  • Intervalo abierto ]a,b[.

    La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.

  • Intervalo cerrado [a,b]. La función es continua si:
    • f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[).
    • f es continua en a por la derecha:


      Continuidad de una función en el extremo inferior a.

    • f es continua en b por la izquierda:


      Continuidad de una función en el extremo superior b.

  • Intervalo abierto por la izquierda ]a,b] (no incluye a). La función es continua si:
    • f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[).
    • f es continua en b por la izquierda:


      Continuidad de una función en el extremo superior b.

  • Intervalo abierto por la derecha [a,b[ (no incluye b). La función es continua si:
    • f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto ]a,b[).
    • f es continua en a por la derecha:


      Continuidad de una función en el extremo inferior a.

Ver ejemplo de continuidad en un intervalo

Continuidad de funciones por partes

Las funciones definidas a trozos son continuas si son continuas en todo su dominio, es decir:

  • La función es continua en los trozos donde está definida.
  • La función es continua en los puntos de división de los trozos.


Función definida a trozos continua en su dominio.

Ver ejemplo de continuidad de funciones por partes

Propiedades de las funciones continuas

Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a, entonces:

  • f + g es continua en x = a.
  • f · g es continua en x = a.
  • f / g es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0.
  • f o g es continua en x = a.
  • α · f  es continua en x = a, siendo α un número real.

Discontinuidad de funciones

Una función f es discontinua en a si se cumplen al menos una de estas tres condiciones:

  1. No existe la función en a, es decir, no existe la imagen de a:


    Condición de inexistencia de imagen en un punto de una función discontinua.

  2. No existe el límite de f en el punto x = a:


    Condición de inexistencia del límite en la discontinuidad en un punto.

  3. La imagen de a y el límite de la función en a son diferentes.


    Condición de desigualdad de la imagen y del límite en la discontinuidad en un punto.


Dibujo de los tres casos en los que una función es discontinua en un punto.

Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades:

Discontinuidad evitable

Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes:


Dibujo de una función con una discontinuidad evitable.

  • Existe el límite en a y éste es finito.


    Condición de existencia de límite finito para la discontinuidad evitable.

  • La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.


    Condición de no existencia de imagen o desigualdad con el límite para la discontinuidad evitable.

Se dice que la discontinuidad es evitable porque se podría evitar definiendo la imagen de a como el valor de su límite en este punto.

Ver ejemplo de discontinuidad evitable

Discontinuidad inevitable

Una función f tiene una discontinuidad inevitable en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir:


Condición de desigualdad de los límites laterales para la discontinuidad inevitable.


Dibujo de una función con una discontinuidad inevitable.

Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.

Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.


Fórmula del salto en la discontinuidad inevitable.

Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad inevitable en:

  • Discontinuidad inevitable de salto finito

    El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita.


    Fórmula del salto en la discontinuidad inevitable de salto finito.


    Dibujo de una discontinuidad inevitable de salto finito.

  • Discontinuidad inevitable de salto infinito

    El salto que se produce entre límites laterales es infinito.


    Fórmula del salto en la discontinuidad inevitable de salto infinito.


    Dibujo de una discontinuidad inevitable de salto infinito.

    En este caso, también se llama discontinuidad inevitable infinita.

Ver ejemplo de discontinuidad inevitable de salto finito

Ver ejemplo de discontinuidad inevitable de salto infinito

Discontinuidad esencial

Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:


Condición de la discontinuidad esencial.


Dibujo de una función con una discontinuidad esencial.

Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en , al no tener límite lateral por la izquierda en x=1.

Ver ejemplo de discontinuidad esencial

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