Función inversa

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Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función recíproca) de f (denotada por f-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.


Dibujo de una función inversa.

Formalmente, diremos que f-1 es la inversa de f si:


Fórmula de la definición de una función inversa.

También podemos definir una función inversa a partir de la composición de funciones. f-1 es la inversa de f y f-1 si la composición de f da la función identidad.


Fórmula de la definición de una función inversa a través de la composición de funciones.

Para que una función f tenga inversa necesariamente debe ser inyectiva.

Propiedades

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Método para el cálculo de la función inversa

Tenemos la función y = f(x), realizamos los siguientes pasos:

  1. Se despeja la variable x en función de la y. Por ejemplo:


    Ejemplo de como despejar x en el método del cálculo de una función inversa.

  2. Se intercambian las variables x e y y la función resultado será la función inversa. Por ejemplo:


    Ejemplo de intercambiar las variables en el método del cálculo de una función inversa.

Ejercicio

Encontrar la inversa de la función y = f(x) = 2x-2.

  1. Despejamos la variable x en función de la y. Por ejemplo:


    Cálculo de como despejar x en un ejemplo del método del cálculo de una función inversa.

  2. Intercambiamos las variables x e y y la función resultado será la función inversa:


    Cálculo de la función inversa en un ejemplo del método del cálculo de ésta.


Gráfico de un ejemplo de una función inversa.

Como podemos ver en la gráfica, f y su inversa son simétricas respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante.

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