Elipse

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Dibujo de la elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.

Dibujo de la elipse producto de la intersección del cono con un plano.

También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.

Elementos de una elipse

Dibujo de los elementos de la elipse.

Los elementos más importante de la elipse son:

  • Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.
  • Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2c. c es la semidistancia focal.
  • Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
  • Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
    Fórmula de la suma de las distancias a los focos de la elipse.

    (La constante de la elipse es precisamente la longitud 2a).

  • Eje focal o principal: es la recta que pasa por los focos, el centro y también por dos vértices. Es uno de los ejes de simetría de la elipse. En él está el segmento 2a.
  • Dibujo de la relación entre semiejes y la distancia focal de la elipse.

  • Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes cumplen que:
    Fórmula de la relación entre los semiejes y la distancia focal de la elipse.

    Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.

  • Eje normal o secundario: es la recta que pasa por el centro de la elipse y es perpendicular al eje focal. Es el segundo de los ejes de simetría de la elipse. En él está el segmento 2b. El eje principal y el eje normal son los dos ejes de simetría de la elipse.
    Dibujo del eje normal y del eje secundario
  • Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2).
  • Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos (eje focal), F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro (eje normal). Es decir, son los puntos I, J, K y L
  • Lado recto (LR): es el segmento perpendicular al eje principal que, pasando por un foco, une dos puntos de la elipse. Su longitud es:
    Fórmula de la longitud del lado recto de la elipse.

Ecuación de una elipse

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Dibujo de la elipse para el cálculo de su ecuación.

Los puntos pertenecientes a la elipse (xy) son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante.

Existen diferentes ecuaciones de la elipse, que veremos a continuación:

Ecuación ordinaria o canónica de la elipse

A partir de la propiedad de la elipse, que es que la suma de la distancia de cualquier punto a los focos (los radios vectores) es igual a 2a, en una elipse horizontal (de eje focal paralelo al eje de las abscisas X) y el centro situado en un punto O (o1o2):

Dibujo de la ecuación de la elipse

Se llega a la ecuación ordinaria o canónica de la elipse:

Fórmula de la ecuación de la elipse

En el caso de que la elipse, también horizontal, esté centrada en (0, 0), la ecuación ordinaria reducida es:

Fórmula de la ecuación de la elipse

Si el eje principal fuese paralelo al eje de las ordenadas OY:

Dibujo de la ecuación ordinaria de la elipse paralelo al eje OY

La ecuación ordinaria de esa elipse vertical con centro en el punto (o1, o2) se convierte en:

Fórmula de la ecuación ordinaria de la elipse vertical

Igualmente, una elipse vertical con el centro coincidente con el centro de coordenadas (0, 0).

Dibujo de la ecuación ordinaria de la elipse vertical

Su ecuación ordinaria se convertiría en:

Fórmula de la ecuación ordinaria de la elipse vertical de centro (0,0)

Fácilmente se puede apreciar cual es el semieje mayor, viendo cuál de las incógnitas lleva el denominador mayor.

Ecuación paramétrica de la elipse

A partir de una elipse horizontal con centro en O (o1, o2) y semiejes a y b, se trazan dos circunferencias de radios también a y b.

Un segmento cualquiera OQ, que corta a la circunferencia menor en P, forma un cualquiera t con el semieje positivo de las abscisas.

A la vista de la imagen, la abscisa del punto Q coincidirá con la de un punto X de la elipse.

De la misma manera, la ordenada del punto P será la misma que la del punto X.

Dibujo de la ecuación parametrica de la elipse horizontal

Podemos plantear las ecuaciones paramétricas de la elipse:

Fórmula de la ecuación paramétrica de la elipse horizontal

Si la elipse horizontal está centrada en el origen de coordenadas (0, 0), sus ecuaciones paramétricas se simplificarán.

Fórmula de la ecuación paramétrica de la elipse horizontal centrada en (0,0)

La misma construcción geométrica se aplicará en el caso de una elipse vertical, cuyo centro esté en el origen de coordenadas (0, 0).

Dibujo de la ecuación parametrica de la elipse vertical

Aquí, las ecuaciones paramétricas serán.

Fórmula de la ecuación paramétrica de la elipse vertical centrada en (0,0)

Ecuación general de la elipse

Desarrollando los cuadrados de los numeradores de la ecuación ordinaria, eliminando denominadores y simplificando, se llega a la ecuación general de la elipse, que en su forma extensa es la ecuación general de las cónicas:

Fórmula de la ecuación general de la elipse como cónica

Para que estos coeficientes se correspondan con una elipse, tiene que cumplirse que A y C deben ser los dos positivos (el mismo signo).

Si los dos ejes de la elipse son paralelos a los ejes de coordenadas, se cumple también necesariamente que:

Condición de la ecuación general de la elipse

En estos dos casos de elipse horizontal o vertical, no está presente en la ecuación general el término Bxy:

Falta de Bxy de la ecuación general de la elipse

Si el eje principal es paralelo al eje de abscisas (elipse horizontal), A debe ser menor que C.

Dibujo de la elipse con eje principal paralelo al eje de abscisas

Si el eje principal coincide con el de abscisas, además E = 0.

Dibujo de la elipse con eje principal coincide con el eje de abscisas

Si el centro de la elipse horizontal está en el origen de coordenadas:

Dibujo de la elipse con centro en el origen de coordenadas

Y, al contrario, si el eje principal es paralelo al eje de ordenadas (elipse vertical), C debe ser menor que A:

Dibujo de la elipse con eje principal paralelo al eje de ordendas

Cuando una elipse vertical tiene el eje coincidente con el de las ordenadas, además D = 0. Y, si la elipse vertical tiene su centro en el origen de las coordenadas, D = 0 y E = 0.

Cuando la elipse está rotada o inclinada (los ejes no son paralelos a los coordenados) ha de existir el término Bxy:

Dibujo de la elipse inclinada

Solamente cuando la rotación es tal que el eje principal es paralelo a las bisectrices de los cuadrantes de los ejes coordenados, entonces A = C:

Dibujo de la elipse inclinada con el eje principal paralelo a las bisectrices de los cuadrantes

Y debe de cumplirse:

Fórmula de la ecuación general de la elipse inclinada

Condición que es general para toda elipse.

Las equivalencias de los coeficientes de la ecuación general en una elipse horizontal son:

Dibujo de la elipse con sus equivalencias

Y las de una elipse vertical:

Dibujo de la elipse vertical

Área de una elipse

Dibujo del área de una elipse

El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).

Fórmula del área de la elipse

Dibujo del área del círculo

En el caso de que los dos semiejes fuesen iguales (r=a=b), se trataría de una circunferencia. Y la fórmula del área de la elipse se convertiría en la del área comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):

Fórmula del área del círculo

Perímetro de una elipse

Dibujo de una elipse para el cálculo de su perímetro.

El cálculo del perímetro de la elipse (o longitud de la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):

Fórmula del perímetro de la elipse

El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior:

Fórmula del perímetro de la elipse de Ramanujan.

El mismo Ramanujan mejoró la aproximación con la llamada fórmula Ramanujan II:

Fórmula 2 del perímetro de una elipse de Ramanujan.

Donde el parámetro H se halla así:

Parámetro de la fórmula 2 del perímetro de una elipse de Ramanujan

Esta buena aproximación disminuye ligeramente cuando la excentricidad e tiende a 1 (a una elipse plana).

La fórmula Ramanujan II, con la corrección Ramanujan II-Cantrell quedó optimizada para conseguir una aproximación muy alta para todo el rango de e, corrigiendo la pequeña desviación que se producía cuando la elipse era muy achatada (e → 1).

El error máximo de esta última fórmula es un sorprendente 0,00145%.

Fórmula de Ramanujan Cantrell del perímetro de una elipse

El valor exacto nos lo puede dar la fórmula de Gauss-Krammer. Es una serie infinita que se obtiene mediante un cálculo diferencial complicado cuyo desarrollo rebasa los objetivos de esta web.

Fórmula de Gauss-Kummer del perímetro de una elipse

Con tal sólo los cuatro o cinco primeros términos de la serie, se obtiene un resultado con una aproximación muy alta.

En los tres cuadros siguientes se ve el resultado, con seis decimales, de tres de las fórmulas ofrecidas: la primera aproximación, la de Ramanujan en su versión Ramanujan II y la fórmula Ramanujan II-Cantrell.

En cada cuadro se estima el perímetro de una elipse, cubriendo entre las tres imágenes todo el rango de la excentricidad de la elipse: 0 ≤ e ≤ 1.

Cálculo del perímetro de una elipse con excentricidad 1

Se concluye que si la elipse tiende a una circunferencia, es decir cuando e → 0, puede usarse la primera fórmula por su facilidad y sencillez, siempre que no se persiga una gran exactitud.

Cálculo del perímetro de una elipse con excentricidad intermedia

Para una excentricidad intermedia e, pueden usarse las dos fórmulas de Ramanujan.

Cálculo del perímetro de una elipse con excentricidad alta

Cuando estamos ante una elipse con una excentricidad alta, o sea, si e → 1 (tiende a una elipse plana), la mejor alternativa es la fórmula Ramanujan II-Cantrell.

Excentricidad de la elipse

Dibujo de una elipse para el cálculo de su excentricidad.

La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y a el semieje mayor:

Fórmula de la excentricidad de la elipse.

La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0 < e < 1). Tiende a 0 cuando la elipse tiende a una circunferencia. En este caso el semieje menor tiene a igualarse al mayor y los focos (F1 y F2) tienden a confundirse con el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

Dibujo de los tipos de la excentricidad de la elipse.

Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).

Fórmula extendida de la excentricidad de la elipse.

Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:

Fórmula de la relación entre los semiejes y la distancia focal de la elipse.

En la imagen se muestran varias excentricidades comparadas:

Dibujo de varios casos de la excentricidad de la elipse

Tangente a una elipse

La ecuación de la recta tangente a una elipse, horizontal y centrada en el origen de coordenadas, en uno de sus puntos P(xP, yP):

Dibujo una elipse para buscar una tangente

Viene dada por la ecuación:

Fórmula de la tangente de una elipse

O por esta ecuación equivalente:

Fórmula de la ecuación equivalente de la tangente de una elipse

La recta normal a este tipo de elipse en uno de sus puntos P, que por rectas perpendiculares, tendrá una ecuación de una recta también perpendicular a la recta tangente:

Fórmula de la recta normal de la tangente de una elipse

Como en la imagen:

Dibujo recta normal a la tangente de una elipse

Igualmente, si la elipse es vertical y también centrada en el origen de coordenadas, las ecuación de las rectas tangente y normal en uno de sus puntos P(xP, yP) serán:

Dibujo recta normal a la tangente de una elipse centrada en el origen

En el caso de que una elipse con el eje focal paralelo al eje de las abscisas (elipse horizontal) tenga su centro O (o1, o2) desplazado del origen de coordenadas O(0, 0), la ecuación de la tangente en uno de los puntos P (xP, yP) es la siguiente:

Fórmula de la tangente de una elipse horizontal

Como en la imagen:

Dibujo de la ecuación de la tangente de una elipse centrada en el origen

¿Sabías que?

La elipse cobra importancia por estar incluida en la Primera ley de Kepler.

Johannes Kepler (1571 – 1630)

Primera ley de Kepler: cada planeta describe una órbita elíptica alrededor del Sol. El Sol está situado en uno de los focos de la elipse.

Dibujo de la elipse en la Primera Ley de Kepler

Ejercicios

Ejercicio 1

Las ecuaciones paramétricas de una elipse son:

Enunciado del ejercicio 1 de los elementos de una elipse

Hallar:

a) Los dos semiejes a y b.

b) Las coordenadas del centro de la elipse O (o1, o2).

c) La distancia focal 2c y las coordenadas de los focos F1 y F2.

d) Las coordenadas de los cuatro vértices I, J, K y L.

e) La longitud del lado recto LR.

Solución:

Transformamos las ecuaciones paramétricas para llegar a la ordinaria:

Cálculo de las ecuaciones ordinarias del ejercicio 1

Este último paso mediante la identidad fundamental de la trigonometría. Y llegamos a la formulación canónica u ordinaria de una elipse horizontal con el centro desplazado del origen de coordenadas:

Cálculo de las ecuaciones ordinarias con centro en el origen del ejercicio 1

a) A la vista de esta ecuación, los semiejes son:

Cálculo de los semiejes del ejercicio 1

b) Las coordenadas del centro de la elipse:

Cálculo del centro del ejercicio 1

c) La distancia focal 2c y las coordenadas de los focos F1 y F2 se obtienen, la primera a través del teorema de Pitágoras:

Dibujo y cálculo de la distancia focal del ejercicio 1

Las coordenadas de los focos se obtienen, sabiendo que estos están sobre el eje principal o focal, de ecuación y = -7, y conocemos el semieje a = 10:

Dibujo y cálculo de los focos del ejercicio 1

d) Las coordenadas de los cuatro vértices I, J, K y L se obtienen sumando o restando el largo de los semiejes a y b de las coordenadas del centro de la elipse, como se ve en la figura:

Dibujo y cálculo de los cuatro vértices del ejercicio 1

c) La longitud del lado recto LR.

Cálculo de la longitud del lado recto del ejercicio 1

El mismo resultado se puede obtener de la diferencia de las ordenadas de los extremos del lado recto, en su intersección con la elipse. Estas ordenadas se pueden obtener de la ecuación de la elipse, dándole a la x el valor de la abscisa de uno de los focos, por ejemplo del F2, con abscisa 20.

Cálculo 2 de la longitud del lado recto del ejercicio 1

En la imagen:

Dibujo y cálculo del lado recto del ejercicio 1

El lado recto es de 7,2.

Ejercicio 2

Dibujo de un ejemplo de elipse para el cálculo de su ecuación.

Sea una elipse de centro O=(4,-2) y de semiejes a=3 cm y b=2 cm. La ecuación de esta elipse es:

Ejemplo de la ecuación de una elipse.

Ejercicio 3

Tenemos una elipse, con el centro O en el origen de coordenadas, cuya ecuación es:

Ejemplo 2 de la ecuación de una elipse.

Encuentra en esta elipse sus focos, los cuatro vértices y su excentricidad.

Solución:

Dividiendo ambos términos por 144, la ecuación se nos transforma en su forma ordinaria o canónica reducida:

Cálculo de la forma canónica en el ejemplo 2 de la ecuación de una elipse.

Como se ha dicho, se ve que el denominador mayor (16) está con la y, es decir, sobre el eje de ordenadas.

En base a la ecuación de este caso, podemos comprobar que:

Cálculo de los valores a y b en el ejemplo 2 de la ecuación de una elipse.

Ahora hallaremos los focos con la ecuación conocida, basada en el Teorema de Pitágoras:

Cálculo de los focos en el ejemplo 2 de la ecuación de una elipse.

Y la elipse queda así:

Ejemplo 2 de la ecuación de una elipse con los focos y vértices.

Queda ahora calcular su excentricidad mediante la fórmula:

Cálculo de la excentricidad en el ejemplo 2 de la ecuación de una elipse.

Mediante la equivalencia de los coeficientes de la ecuación general vista más arriba, se llegaría al mismo resultado de los semiejes. Y también de que se trata de una elipse vertical centrada en el origen de coordenadas.

Cálculo de los coeficientes en el ejemplo 2

Ejercicio 4

Dada la ecuación general de una cónica:

Enunciado del ejercicio 3

Determinar:

a) Si esta ecuación general de una cónica se corresponde con una elipse. Caso de serlo, su posición respecto a los ejes de coordenadas.

b) Transformar la ecuación en forma general en la ecuación ordinaria o canónica.

c) Hallar los semiejes a y b y las coordenadas del centro de la elipse (o1, o2).

d) Escribir las ecuaciones paramétricas correspondientes.

Solución:

a) Como A y C tienen signo positivo (9 y 25) esta cónica es una elipse. Como la ecuación general no tiene el término Bxy, no se trata de una elipse inclinada o rotada. Al ser A menor que C (9 ≤ 25), es una elipse horizontal. Y como tiene los términos Dx y Ey, el centro de la elipse no está en ningún eje coordenado.

b) Se hacen transformaciones para obtener en el primer término la suma de los cuadrados de dos binomios:

Cálculo de la suma de los cuadrados del ejercicio 3

Se dividen los dos términos por 225 y se obtiene:

Cálculo 2 de la suma de los cuadrados del ejercicio 3

Llegando a la forma ordinaria o canónica de una elipse horizontal con el centro fuera de los ejes coordenados, cuya expresión era:

Fórmula de la ecuación de la elipse

c) A la vista de la ecuación ordinaria, se llega directamente a los semiejes de la elipse (a = 5 y b = 3) y a las coordenadas de su centro (-6, 4):

Dibujo de los semiejes en el ejercicio 3

d) Y las ecuaciones paramétricas son:

Cálculo de las ecuaciones paramétricas del ejercicio 3

A los mismos resultados en los ejes y las coordenadas del centro se hubiera llegado recordando las equivalencias de los coeficientes de la ecuación general, sabiendo que se refieren a una elipse horizontal, porque C ≤ A y no existe el término Bxy:

Cálculo de la ecuación general del ejercicio 3

Ejercicio 5

Ejemplo de una elipse para el cálculo de su área.

Sea una elipse de semiejes conocidos, siendo el mayor a=3 cm y el menor b=2 cm. ¿Cuál es su área?

Cálculo del área de un ejemplo de elipse

Obteniendo que su área es de 18,85 cm2.

Ejercicio 6

Dibujo de una elipse para el cálculo de su perímetro.

Sea una elipse, siendo el semieje mayor a=3 cm y el menor b=2 cm. ¿Cuál es su perímetro? Veamos que se obtiene mediante cada aproximación.

Cálculo del perímetro de un ejemplo de elipse

Mediante la primera aproximación, se obtiene que el perímetro es de 16,02 cm.

Cálculo del perímetro de un ejemplo de elipse mediante la aproximación de Ramanujan.

Aplicando la aproximación de Ramanujan obtenemos que el perímetro es de 15,87 cm.

Ejercicio 7

Hallar la excentricidad de la elipse que tiene como ecuación ordinaria:

Enunciado del ejercicio 1

La fórmula de la ecuación ordinaria de una elipse (en configuración horizontal) recordamos que era:

Fórmula de la ecuación ordinaria de la elipse vertical

De la que se deduce que:

Ecuación ordinaria del ejercicio 1

Sabiendo los dos semiejes ya podemos calcular la excentricidad, usando en este caso la variante que hace uso del teorema de Pitágoras:

Resultado del ejercicio 1

Como en la imagen:

Dibujo del ejercicio 1

Ejercicio 8

Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal del punto o los puntos con ordenada yPi = 2, de la siguiente elipse horizontal, centrada en el origen:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Efectivamente, la elipse es horizontal, porque el denominador mayor es el de la x2 y no tiene término en xy. Está centrada, al estar solamente las incógnitas en el numerador. Y son dos puntos con esa ordenada, ya que 2 es menor que el semieje menor, b = 3.

Dibujo de la elipse horizontal en el ejercicio 1

Se encuentran las abscisas de estos dos puntos, substituyendo en la ecuación de la elipse la y por 2:

Cálculo de las abscisas del ejercicio 1

Los puntos buscados son P1 (-2,98, 2) y P2 (2,98, 2).

Se aplica la fórmula de la tangente al punto P1:

Cálculo de la tangente al punto P1 del ejercicio 1

Ahora, la ecuación de la normal a P1:

Cálculo de la normal al punto P1 del ejercicio 1

La ecuación de la tangente al punto P2 (2,98, 2) será:

Cálculo de la tangente al punto P2 del ejercicio 1

Y la de la normal a P2:

Cálculo de la normal al punto P2 del ejercicio 1

El resultado se refleja en esta imagen:

Dibujo del ejercicio 1

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2021


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21 Respuestas

  1. Broca dice:

    Excelente información,muy importante para los estudiantes,aficionados a las matemáticas,solo tienen que darse el tiempo para consultarla. Gracias
    Broca

  2. Andres Zabaleta dice:

    10-2 vale vrg

  3. Mariel Hernández dice:

    Me es muy útil, muchas gracias :3

  4. Berianny Estrella. dice:

    Excelente información, me ayudo bastante con mi exposición sobre este tema; lo explica tan detalladamente que se hace fácil su comprensión. ¡Muchas Gracias!

  5. Temístocles Fadul Vega dice:

    Siempre me ha llamado la atención las elipses. me parece que encierran un misterio muy importante en cuanto a la formación del universo mismo…

  6. TusNalgas dice:

    Pgl :v Agt Bosa xde

  7. alberto dice:

    entre muchas busquedas, su explicación a sido mas comprencible, avese las cosas complejas se deven explicar como si lor receptores fueran niños de 5 años.

  8. Rosio dice:

    muchas gracias por esta información ha sido muy útil

  9. jair dice:

    gracias, me fue muy util para mi proyecto, excelente pagina

  10. Phoebe Azul dice:

    esta pagina es mi favorita

  11. herlinso sanchez dice:

    esta bueno

  12. javier dice:

    muy bueno muchas gracias

  13. yemima quispe granados dice:

    gracias es mmuy util

  14. Gustavo dice:

    como comentario: hay un error en la explicación del semieje menor de la elipse, este viene a ser la distancia “OJ” , osea “b” en el gráfico y no cJ como se menciona.

  15. Juan Fernando Gutiérrez Mejía Díaz González Jaramillo Botero Patiño dice:

    Ax² + Bx + Cxy + Dy² + Ex + F = 0 necesito los focos de la elipse , Vértices

  16. Carlos Castro dice:

    EXCELENTE

  17. ing. mirope de leon figueroa dice:

    para mi es muy util. muchas gracias

  18. marcos dice:

    muchas gracias amigo so un kpo

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