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Elipse

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Dibujo de la elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.

Dibujo de la elipse producto de la intersección del cono con un plano.

También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.

Elementos de una elipse

Dibujo de los elementos de la elipse.

Los elementos más importante de la elipse son:

  • Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.
  • Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2c. c es la semidistancia focal.
  • Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
  • Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
    Fórmula de la suma de las distancias a los focos de la elipse.
  • Dibujo de la relación entre semiejes y la distancia focal de la elipse.

  • Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:
    Fórmula de la relación entre los semiejes y la distancia focal de la elipse.

    Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.

  • Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2).
  • Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los puntos I, J, K y L

Ecuación de una elipse

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Dibujo de la elipse para el cálculo de su ecuación.

Los puntos pertenecientes a la elipse (x,y) son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante. La ecuación de la elipse es la siguiente:

Fórmula de la ecuación de la elipse

En el caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la ecuación es:

Fórmula de la ecuación de la elipse

Área de una elipse

Dibujo del área de la elipse

El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).

Fórmula del área de la elipse

Dibujo del área del círculo

En el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):

Fórmula del área del círculo

Perímetro de una elipse

Dibujo de una elipse para el cálculo de su perímetro.

El cálculo del perímetro de la elipse (o longitud de la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):

Fórmula del perímetro de la elipse

El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior:

Fórmula del perímetro de la elipse de Ramanujan.

El mismo Ramanujan mejoró la aproximación con la llamada fórmula Ramanujan II:

Fórmula 2 del perímetro de una elipse de Ramanujan.

Donde el parámetro H se halla así:

Parámetro de la fórmula 2 del perímetro de una elipse de Ramanujan

Esta buena aproximación disminuye ligeramente cuando la excentricidad e tiende a 1 (a una elipse plana).

La fórmula Ramanujan II, con la corrección Ramanujan II-Cantrell quedó optimizada para conseguir una aproximación muy alta para todo el rango de e, corrigiendo la pequeña desviación que se producía cuando la elipse era muy achatada (e → 1).

El error máximo de esta última fórmula es un sorprendente 0,00145%.

Fórmula de Ramanujan Cantrell del perímetro de una elipse

El valor exacto nos lo puede dar la fórmula de Gauss-Krammer. Es una serie infinita que se obtiene mediante un cálculo diferencial complicado cuyo desarrollo rebasa los objetivos de esta web.

Fórmula de Gauss-Kummer del perímetro de una elipse

Con tal sólo los cuatro o cinco primeros términos de la serie, se obtiene un resultado con una aproximación muy alta.

En los tres cuadros siguientes se ve el resultado, con seis decimales, de tres de las fórmulas ofrecidas: la primera aproximación, la de Ramanujan en su versión Ramanujan II y la fórmula Ramanujan II-Cantrell.

En cada cuadro se estima el perímetro de una elipse, cubriendo entre las tres imágenes todo el rango de la excentricidad de la elipse: 0 ≤ e ≤ 1.

Cálculo del perímetro de una elipse con excentricidad 1

Se concluye que si la elipse tiende a una circunferencia, es decir cuando e → 0, puede usarse la primera fórmula por su facilidad y sencillez, siempre que no se persiga una gran exactitud.

Cálculo del perímetro de una elipse con excentricidad intermedia

Para una excentricidad intermedia e, pueden usarse las dos fórmulas de Ramanujan.

Cálculo del perímetro de una elipse con excentricidad alta

Cuando estamos ante una elipse con una excentricidad alta, o sea, si e → 1 (tiende a una elipse plana), la mejor alternativa es la fórmula Ramanujan II-Cantrell.

Excentricidad de la elipse

Dibujo de una elipse para el cálculo de su excentricidad.

La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y a el semieje mayor:

Fórmula de la excentricidad de la elipse.

La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F1 y F1) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

Dibujo de los tipos de la excentricidad de la elipse.

Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).

Fórmula extendida de la excentricidad de la elipse.

Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:

Fórmula de la relación entre los semiejes y la distancia focal de la elipse.

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19 Respuestas

  1. Mariel Hernández dice:

    Me es muy útil, muchas gracias :3

  2. Berianny Estrella. dice:

    Excelente información, me ayudo bastante con mi exposición sobre este tema; lo explica tan detalladamente que se hace fácil su comprensión. ¡Muchas Gracias!

  3. Temístocles Fadul Vega dice:

    Siempre me ha llamado la atención las elipses. me parece que encierran un misterio muy importante en cuanto a la formación del universo mismo…

  4. TusNalgas dice:

    Pgl :v Agt Bosa xde

  5. alberto dice:

    entre muchas busquedas, su explicación a sido mas comprencible, avese las cosas complejas se deven explicar como si lor receptores fueran niños de 5 años.

  6. Rosio dice:

    muchas gracias por esta información ha sido muy útil

  7. jair dice:

    gracias, me fue muy util para mi proyecto, excelente pagina

  8. Phoebe Azul dice:

    esta pagina es mi favorita

  9. herlinso sanchez dice:

    esta bueno

  10. javier dice:

    muy bueno muchas gracias

  11. yemima quispe granados dice:

    gracias es mmuy util

  12. Gustavo dice:

    como comentario: hay un error en la explicación del semieje menor de la elipse, este viene a ser la distancia “OJ” , osea “b” en el gráfico y no cJ como se menciona.

  13. Juan Fernando Gutiérrez Mejía Díaz González Jaramillo Botero Patiño dice:

    Ax² + Bx + Cxy + Dy² + Ex + F = 0 necesito los focos de la elipse , Vértices

  14. Carlos Castro dice:

    EXCELENTE

  15. ing. mirope de leon figueroa dice:

    para mi es muy util. muchas gracias

  16. marcos dice:

    muchas gracias amigo so un kpo

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