Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F₁ y F₂) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d₁ y d₂ es constante.

También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.

Elementos de una elipse

Los elementos más importante de la elipse son:

• Focos: son los puntos fijos F₁ y F₂ que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d₁ y d₂) es constante.
• Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F₁F₂=2c. c es la semidistancia focal.
• Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
• Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
  



• Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:
  

  Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.

• Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF₁ y PF₂ (en el dibujo, d₁ y d₂).
• Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F₁F₂, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los puntos I, J, K y L

Ecuación de una elipse

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Los puntos pertenecientes a la elipse (x,y) son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante. La ecuación de la elipse es la siguiente:

En el caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la ecuación es:

Área de una elipse

El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).

En el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):

Perímetro de una elipse

El cálculo del perímetro de la elipse (o longitud de la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):

El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior:

El mismo Ramanujan mejoró la aproximación con la llamada fórmula Ramanujan II:

Donde el parámetro H se halla así:

Esta buena aproximación disminuye ligeramente cuando la excentricidad e tiende a 1 (a una elipse plana).

La fórmula Ramanujan II, con la corrección Ramanujan II-Cantrell quedó optimizada para conseguir una aproximación muy alta para todo el rango de e, corrigiendo la pequeña desviación que se producía cuando la elipse era muy achatada (e → 1).

El error máximo de esta última fórmula es un sorprendente 0,00145%.

El valor exacto nos lo puede dar la fórmula de Gauss-Krammer. Es una serie infinita que se obtiene mediante un cálculo diferencial complicado cuyo desarrollo rebasa los objetivos de esta web.

Con tal sólo los cuatro o cinco primeros términos de la serie, se obtiene un resultado con una aproximación muy alta.

En los tres cuadros siguientes se ve el resultado, con seis decimales, de tres de las fórmulas ofrecidas: la primera aproximación, la de Ramanujan en su versión Ramanujan II y la fórmula Ramanujan II-Cantrell.

En cada cuadro se estima el perímetro de una elipse, cubriendo entre las tres imágenes todo el rango de la excentricidad de la elipse: 0 ≤ e ≤ 1.

Se concluye que si la elipse tiende a una circunferencia, es decir cuando e → 0, puede usarse la primera fórmula por su facilidad y sencillez, siempre que no se persiga una gran exactitud.

Para una excentricidad intermedia e, pueden usarse las dos fórmulas de Ramanujan.

Cuando estamos ante una elipse con una excentricidad alta, o sea, si e → 1 (tiende a una elipse plana), la mejor alternativa es la fórmula Ramanujan II-Cantrell.

Excentricidad de la elipse

La excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y a el semieje mayor:

La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F₁ y F₁) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).

Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que: