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Perímetro de una elipse

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Dibujo de una elipse para el cálculo de su perímetro.

El cálculo del perímetro de una elipse (o longitud de una elipse) es muy difícil de calcular, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):

Fórmula del perímetro de una elipse

El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior :

Fórmula del perímetro de una elipse de Ramanujan.

Ejercicio

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Dibujo de una elipse para el cálculo de su perímetro.

Sea una elipse, siendo el semieje mayor a=3 cm y el menor b=2 cm. ¿Cuál es su perímetro? Veamos que se obtiene mediante cada aproximación.

Cálculo del perímetro de un ejemplo de elipse

Mediante la primera aproximación, se obtiene que el perímetro es de 16,02 cm.

Cálculo del perímetro de un ejemplo de elipse mediante la aproximación de Ramanujan.

Aplicando la aproximación de Ramanujan obtenemos que el perímetro es de 15,87 cm.

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22 Respuestas

  1. pacaluan dice:

    hola, me gustaría saber el origen de esas formulas, como se roigina

  2. Javier dice:

    Con a=10 y b=1 sale con la formula 40.6396 y con el software c++ sale 42.2832. Debe ser mayor de 40 pues como mínimo es 4 veces el radio mayor como es obvio.

    • Respuestas dice:

      No hay una fórmula que nos de el perímetro de la elipse que no requiera cálculo integral complejo, sino aproximaciones. Tanto la primera fórmula que aparece en esta página como la de Ramanujan dan resultados muy aceptables para excentricidades de la elipse bajas. Ahora bien, si nos vamos a excentricidades muy altas, como las que propones, como de a = 10 y b = 1.
      O, como en el segundo comentario, que lo llevas prácticamente a excentricidad extrema, con a = 40 y b = 0,1, que es prácticamente la longitud de dos segmentos de 2*40, es cuando aparecen las discrepancias y diferencias.
      Tanto la primera fórmula dan muy buen resultado para excentricidad 0 (cuando una elipse es una circunferencia).
      Las fórmulas, especialmente la de Ramanujan, son útiles para casos habituales de elipses que deban ser calculadas en ejercicios geométricos de clase.

  3. Javier dice:

    p=2π(((a-b)/(π/2))+b) no es exacta, lo he probado haciendo a=40 b=0.1 y en vez de salir algo mas de 40 sale un valor muy bajito, he probado a cambiar a por b y tampoco sale.
    Me sale bastante bien el siguiente programa en c++: va subiendo x desde 0 sumando segmentos muy pequeños y hayando z y luego suma la longuitud del segmento, pero tenia mucho error en la zona de la derecha pues un pequeño incremento en x supone un gran incremento en z, y lo he arreglado cambiando la suma a mitad de camino. Solo hace un cuarto de la elipse y luego el resultado lo multiplica por 4:

    double halla_longitud_elipse(double Rx, double Rz)
    {
    //20000 segmentos:
    const double N_ELLIPSE = 20000.0;
    double longitud = 0, delta = Rx / N_ELLIPSE, x0 = 0, z0 = Rz, x = delta, z;
    //Subo x hasta que es mayor que z
    for (;; x += delta)
    {
    z = Rz*sqrt(1.0-x*x/(Rx*Rx));
    longitud += sqrt((z – z0)*(z – z0) + (x – x0)*(x – x0));
    x0 = x; z0 = z;
    if (x>z) break;
    }
    //Bajo hasta z=0
    for (;z>0; z -= delta)
    {
    x = Rx*sqrt(1.0-z*z/(Rz*Rz));
    longitud += sqrt((z – z0)*(z – z0) + (x – x0)*(x – x0));
    x0 = x; z0 = z;
    }
    //longitud+=delta;
    return 4.0*longitud;//4 veces el cuarto de elipse
    }

    saludos

  4. RUBÈN TORRES dice:

    Buenas noches, Santiago. Lamento informarte que estàs en un gran error. Eje Mayor = 2a =20.
    Perímetro inferior > 20., Perímetro superior > 20.,
    P=PI + PS > 40. Sigue intentando, igual yo. Suerte
    .

  5. Humberto Loureiro dice:

    Prezado senhor;
    Abaixo, uma tabela de deduzi matematicamente, para se determinar o perímetro de uma elipse de eixos a e b, sendo a>b. Basta entrar na tabela com a relação b/a e o valor achado deve ser multiplicado por a, pois a tabela foi deduzida para a=1. No exemplo dado para a=10 e b=1, está claro que o perímetro em questão não pode ser inferior a 40, isto é, 10×4..
    Atenciosamente.
    Humberto Loureiro
    e-mail: humberto_loureiro@hotmail.com

    Tabela resumida

    Relação b/a Perímetro
    da elipse da elipse
    ERRO< 0,032%
    1 6,281192137
    0,996195 6,269247864
    0,984808 6,233571501
    0,965926 6,17464317
    0,939693 6,09326446
    0,906308 5,990559426
    0,866025 5,867985578
    0,819152 5,727346345
    0,766044 5,570791994
    0,707107 5,400861763
    0,642788 5,220500958
    0,573576 5,033120348
    0,5 4,842687602
    0,422618 4,653834731
    0,34202 4,472091886
    0,258819 4,304254952
    0,173648 4,159138026
    0,087156 4,04937919
    0 4

  6. Alfredo dice:

    Hola a todos. Quiero ayudar a las personas que se interesan por este bonito tema próximamente subiré un vídeo a YouTube dónde pretendo demostrar que la longitud de una elipse es el límite del incremento del área de la elipse cuando el incremento de sus semiejes tiende a cero. La fórmula para calcular dicha longitud es muy sencilla y es
    L=pi (a+b)

  7. Santiago dice:

    Hallar el perímetro exacto de la elipse ya no es difícil. La fórmula exacta existe y es sencilla de ejecutar.

    p=2π(((a-b)/(π/2))+B)

    Cortesía de Jorge Peñamedrano

    • ClementeMat dice:

      Arreglando la expresión queda p=4(a-b)+2Pi b, que no de broma se aproxima al valor que pretendemos calcular. O está mal escrita o mal obtenida.

    • Santiago dice:

      p=2π(((a-b)/(π/2))+b)

      Sin mayúscula… 😉

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Gracias, Santiago, por tu aportación. Próximamente estudiaremos la FÓRMULA Ñ y la posibilidad de incluirla en Universoformulas.

  8. Luis dice:

    Enrique, si eres estudiante del tema, calcula el perimetro por integrales; luego, sustituyes los valores que das en la formula de Ramanujan y evaluas el error.

  9. Mohaned dice:

    Hola, soy estudiante de temas de física, justo ahora estamos calculando el perímetro de una elipse, por las galaxias, en si, quiero saber de dónde se desarrolla la fórmula es decir los procesos para determinar la fórmula de aproximación, espero respuesta, es para una demostración de suma importancia.

  10. Claudia Mohamed dice:

    Me interesa dividir la elipse en arcos de igual longitud. Aunque calcule su perímetro y lo divida en 6, 12 o lo que sea, no se me ocurre cómo concretarlo, es decir, cómo encontrar los puntos correspondientes.

  11. jojacova dice:

    Muy pronto daré a conocer una formula muy sencilla para hallar el perímetro de cualquier elipse

  12. enrique reyes dice:

    Hola, soy estudioso del tema. le Felicito por su voluntad de aportar, y la calidad de su presentación.: por favor si muestra como se pueden usar las expresiones para el caso de elipse con a= 10, b= 1, y que exactitud se obtiene. muchas gracias

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