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Perímetro de una elipse

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Dibujo de una elipse para el cálculo de su perímetro.

El cálculo del perímetro de una elipse (o longitud de una elipse) es muy difícil de calcular, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):

Fórmula del perímetro de una elipse

El matemático Ramanujan dio una aproximación más exacta que la anterior:

Fórmula del perímetro de una elipse de Ramanujan.

El mismo Ramanujan mejoró la aproximación con la llamada fórmula Ramanujan II:

Fórmula 2 del perímetro de una elipse de Ramanujan.

Donde el parámetro H se halla así:

Parámetro de la fórmula 2 del perímetro de una elipse de Ramanujan

Esta buena aproximación disminuye ligeramente cuando la excentricidad e tiende a 1 (a una elipse plana).

La fórmula Ramanujan II, con la corrección Ramanujan II-Cantrell quedó optimizada para conseguir una aproximación muy alta para todo el rango de e, corrigiendo la pequeña desviación que se producía cuando la elipse era muy achatada (e → 1).

El error máximo de esta última fórmula es un sorprendente 0,00145%.

Fórmula de Ramanujan Cantrell del perímetro de una elipse

El valor exacto nos lo puede dar la fórmula de Gauss-Krammer. Es una serie infinita que se obtiene mediante un cálculo diferencial complicado cuyo desarrollo rebasa los objetivos de esta web.

Fórmula de Gauss-Kummer del perímetro de una elipse

Con tal sólo los cuatro o cinco primeros términos de la serie, se obtiene un resultado con una aproximación muy alta.

En los tres cuadros siguientes se ve el resultado, con seis decimales, de tres de las fórmulas ofrecidas: la primera aproximación, la de Ramanujan en su versión Ramanujan II y la fórmula Ramanujan II-Cantrell.

En cada cuadro se estima el perímetro de una elipse, cubriendo entre las tres imágenes todo el rango de la excentricidad de la elipse: 0 ≤ e ≤ 1.

Cálculo del perímetro de una elipse con excentricidad 1

Se concluye que si la elipse tiende a una circunferencia, es decir cuando e → 0, puede usarse la primera fórmula por su facilidad y sencillez, siempre que no se persiga una gran exactitud.

Cálculo del perímetro de una elipse con excentricidad intermedia

Para una excentricidad intermedia e, pueden usarse las dos fórmulas de Ramanujan.

Cálculo del perímetro de una elipse con excentricidad alta

Cuando estamos ante una elipse con una excentricidad alta, o sea, si e → 1 (tiende a una elipse plana), la mejor alternativa es la fórmula Ramanujan II-Cantrell.

Ejercicio

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Dibujo de una elipse para el cálculo de su perímetro.

Sea una elipse, siendo el semieje mayor a=3 cm y el menor b=2 cm. ¿Cuál es su perímetro? Veamos que se obtiene mediante cada aproximación.

Cálculo del perímetro de un ejemplo de elipse

Mediante la primera aproximación, se obtiene que el perímetro es de 16,02 cm.

Cálculo del perímetro de un ejemplo de elipse mediante la aproximación de Ramanujan.

Aplicando la aproximación de Ramanujan obtenemos que el perímetro es de 15,87 cm.

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27 Respuestas

  1. Enrique dice:

    Gracias. Cuál sería el resultado para a=1, b = .9 ?. Busco estos dos valores extremos. Por su precisión se evalúan precisión de las expresiones. Gracias anticipadas.

    • Respuestas dice:

      La fórmula de Ramanujuan ofrece un resultado razonablemente aproximado, aproximación que se debilita cuanto mayor sea la excentricidad, como es el caso que propones.
      Te recomiendo que uses la serie de Gauss-Kummer, con la que podrás aproximarte mucho al valor exacto con solo cuatro o cinco términos de la serie.
      Espero que te sirva.

  2. pacaluan dice:

    hola, me gustaría saber el origen de esas formulas, como se roigina

  3. Javier dice:

    Con a=10 y b=1 sale con la formula 40.6396 y con el software c++ sale 42.2832. Debe ser mayor de 40 pues como mínimo es 4 veces el radio mayor como es obvio.

    • Respuestas dice:

      No hay una fórmula que nos de el perímetro de la elipse que no requiera cálculo integral complejo, sino aproximaciones. Tanto la primera fórmula que aparece en esta página como la de Ramanujan dan resultados muy aceptables para excentricidades de la elipse bajas. Ahora bien, si nos vamos a excentricidades muy altas, como las que propones, como de a = 10 y b = 1.
      O, como en el segundo comentario, que lo llevas prácticamente a excentricidad extrema, con a = 40 y b = 0,1, que es prácticamente la longitud de dos segmentos de 2*40, es cuando aparecen las discrepancias y diferencias.
      Tanto la primera fórmula dan muy buen resultado para excentricidad 0 (cuando una elipse es una circunferencia).
      Las fórmulas, especialmente la de Ramanujan, son útiles para casos habituales de elipses que deban ser calculadas en ejercicios geométricos de clase.

  4. Javier dice:

    p=2π(((a-b)/(π/2))+b) no es exacta, lo he probado haciendo a=40 b=0.1 y en vez de salir algo mas de 40 sale un valor muy bajito, he probado a cambiar a por b y tampoco sale.
    Me sale bastante bien el siguiente programa en c++: va subiendo x desde 0 sumando segmentos muy pequeños y hayando z y luego suma la longuitud del segmento, pero tenia mucho error en la zona de la derecha pues un pequeño incremento en x supone un gran incremento en z, y lo he arreglado cambiando la suma a mitad de camino. Solo hace un cuarto de la elipse y luego el resultado lo multiplica por 4:

    double halla_longitud_elipse(double Rx, double Rz)
    {
    //20000 segmentos:
    const double N_ELLIPSE = 20000.0;
    double longitud = 0, delta = Rx / N_ELLIPSE, x0 = 0, z0 = Rz, x = delta, z;
    //Subo x hasta que es mayor que z
    for (;; x += delta)
    {
    z = Rz*sqrt(1.0-x*x/(Rx*Rx));
    longitud += sqrt((z – z0)*(z – z0) + (x – x0)*(x – x0));
    x0 = x; z0 = z;
    if (x>z) break;
    }
    //Bajo hasta z=0
    for (;z>0; z -= delta)
    {
    x = Rx*sqrt(1.0-z*z/(Rz*Rz));
    longitud += sqrt((z – z0)*(z – z0) + (x – x0)*(x – x0));
    x0 = x; z0 = z;
    }
    //longitud+=delta;
    return 4.0*longitud;//4 veces el cuarto de elipse
    }

    saludos

  5. RUBÈN TORRES dice:

    Buenas noches, Santiago. Lamento informarte que estàs en un gran error. Eje Mayor = 2a =20.
    Perímetro inferior > 20., Perímetro superior > 20.,
    P=PI + PS > 40. Sigue intentando, igual yo. Suerte
    .

  6. Humberto Loureiro dice:

    Prezado senhor;
    Abaixo, uma tabela de deduzi matematicamente, para se determinar o perímetro de uma elipse de eixos a e b, sendo a>b. Basta entrar na tabela com a relação b/a e o valor achado deve ser multiplicado por a, pois a tabela foi deduzida para a=1. No exemplo dado para a=10 e b=1, está claro que o perímetro em questão não pode ser inferior a 40, isto é, 10×4..
    Atenciosamente.
    Humberto Loureiro
    e-mail: humberto_loureiro@hotmail.com

    Tabela resumida

    Relação b/a Perímetro
    da elipse da elipse
    ERRO< 0,032%
    1 6,281192137
    0,996195 6,269247864
    0,984808 6,233571501
    0,965926 6,17464317
    0,939693 6,09326446
    0,906308 5,990559426
    0,866025 5,867985578
    0,819152 5,727346345
    0,766044 5,570791994
    0,707107 5,400861763
    0,642788 5,220500958
    0,573576 5,033120348
    0,5 4,842687602
    0,422618 4,653834731
    0,34202 4,472091886
    0,258819 4,304254952
    0,173648 4,159138026
    0,087156 4,04937919
    0 4

  7. Alfredo dice:

    Hola a todos. Quiero ayudar a las personas que se interesan por este bonito tema próximamente subiré un vídeo a YouTube dónde pretendo demostrar que la longitud de una elipse es el límite del incremento del área de la elipse cuando el incremento de sus semiejes tiende a cero. La fórmula para calcular dicha longitud es muy sencilla y es
    L=pi (a+b)

    • Alfredo Miranda Sanchez dice:

      Rectifico, la velocidad orbital de la ISS, es de 27,7 mil km por hora. Os pido disculpas por el despiste. jajaja

    • Alfredo Miranda Sanchez dice:

      En el ejemplo que se expone donde b=2 y a=3, la excentricidad de dicha elipse es de e=0.7453 y la formula de pi (a+b) da un resultado de 15,71 cm, algo menor que la aproximación de Ramanujan y a su vez, la aproximación de Ramanujan da un resultado algo menor que la primera aproximación.
      La fórmula pi(a+b), tiene una precisión de 99,86 % al contrastar sus resultados con los de un programa que divide en un millón de partes el semieje mayor de elipses hasta con excentricidades de 0,6 y el área interior del cuadrante de la elipse en un millón de trapecios, calculando cada tramo de la curva del cuadrante por la fórmula de Pitágoras. Esta fórmula también ha sido contrastada con la excentricidad de los meridianos terrestres, donde 1 minuto de arco del meridiano tiene una extensión media de 1852 metros, valor obtenido por el elipsoide de Clark y el de Krasovski, sólo un metro menos que la obtenida por pi(a+b). También la comprobé con la extensión de la órbita de la ISS, siendo el período orbital de 92,2 minutos, su velocidad media de 27,7 km por hora coincide con el resultado proporcionado por pi(a+b).
      No pretendo que pi(a+b) sea la mas exacta, pero es buena, y además, sencilla para excentricidades de hasta 0.75. Pienso que para elipses con una relación de semiejes por ejemplo 1/10 con excentricidad de 0.99, es mas sencillo y mas práctico multiplicar por dos el eje mayor y sumar las curvas de los extremos considerando que son arcos de circunferencia con centro en los focos. Mi opinión es que no tiene sentido práctico aplicar una fórmula para calcular el perímetro de una elipse que es casi dos líneas rectas. La idea de pi(a+b) salió de la intuición de que si una circunferencia es considerada una elipse de excentricidad cero, entonces por carácter recíproco, una elipse puede ser considerada una circunferencia donde su radio es el valor promedio de sus semiejes. Siguiendo este razonamiento cuando a=b, pi(a+b) deriva en 2pir que es la fórmula de la longitud de la circunferencia.

    • Respuestas dice:

      Gracias por tu aportación, Alfredo. Aunque la fórmula simple que propones sirve como una aproximación poco rigurosa, con un error para cálculos poco exigentes admisible solamente en elipses con excentricidades muy bajas, se aleja del valor exacto conforme se aplica a elipses con excentricidades más altas o muy alargadas.
      Según el rigor que pretendas en el cálculo, te aconsejaría que utilizases la primera aproximación que se propone en UNIVERSO FÓRMULAS, o cualquiera de las dos fórmulas de Ramanujan o, si quieres un mayor rigor, emplear la fórmula de Gauss-Kummer, reduciéndola a los primeros cuatro o cinco primeros términos de la serie, con lo que la aproximación al valor exacto es muy buena.
      Gracias y saludos.

    • Rafael dice:

      Eso lo inventaron ya, pero lo llamaron círculo ….

  8. Santiago dice:

    Hallar el perímetro exacto de la elipse ya no es difícil. La fórmula exacta existe y es sencilla de ejecutar.

    p=2π(((a-b)/(π/2))+B)

    Cortesía de Jorge Peñamedrano

    • ClementeMat dice:

      Arreglando la expresión queda p=4(a-b)+2Pi b, que no de broma se aproxima al valor que pretendemos calcular. O está mal escrita o mal obtenida.

    • Santiago dice:

      p=2π(((a-b)/(π/2))+b)

      Sin mayúscula… 😉

    • Respuestas dice:

      Gracias, Santiago, por tu aportación. Próximamente estudiaremos la FÓRMULA Ñ y la posibilidad de incluirla en Universo Fórmulas.

  9. Luis dice:

    Enrique, si eres estudiante del tema, calcula el perimetro por integrales; luego, sustituyes los valores que das en la formula de Ramanujan y evaluas el error.

  10. Mohaned dice:

    Hola, soy estudiante de temas de física, justo ahora estamos calculando el perímetro de una elipse, por las galaxias, en si, quiero saber de dónde se desarrolla la fórmula es decir los procesos para determinar la fórmula de aproximación, espero respuesta, es para una demostración de suma importancia.

  11. Claudia Mohamed dice:

    Me interesa dividir la elipse en arcos de igual longitud. Aunque calcule su perímetro y lo divida en 6, 12 o lo que sea, no se me ocurre cómo concretarlo, es decir, cómo encontrar los puntos correspondientes.

  12. jojacova dice:

    Muy pronto daré a conocer una formula muy sencilla para hallar el perímetro de cualquier elipse

  13. enrique reyes dice:

    Hola, soy estudioso del tema. le Felicito por su voluntad de aportar, y la calidad de su presentación.: por favor si muestra como se pueden usar las expresiones para el caso de elipse con a= 10, b= 1, y que exactitud se obtiene. muchas gracias

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