Ecuación de la parábola

La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente. Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente.

Ecuación canónica o reducida de la parábola

Consideremos una parábola cuyo eje es el eje de ordenadas, su vértice es el centro de coordenadas V (0, 0) y que está en la parte positiva de las x. En este caso, el foco estará necesariamente en F (p/2,0) . La ecuación de la recta directriz D será x = –p/2.

Los radios vectores FP y PM, correspondientes a cualquier punto P de la parábola (que, por definición, son iguales) tendrán la longitud:

Operando y simplificando, obtenemos la ecuación canónica o reducida de la parábola referida a esta configuración:

Si se desplaza paralelamente el eje E al eje de ordenadas y el vértice de la parábola se lleva al punto V (x_V,y_V), la ecuación de esta parábola ahora será la que se muestra en la imagen. También se muestra la ecuación de la recta directriz D.

Ecuación canónica o reducida de la parábola, pero ahora con su eje coincidente con el eje de las abscisas, su vértice es el centro de coordenadas V (0,0) y que está en la parte positiva de las y.

Si se desplaza paralelamente el eje E al eje de las abscisas y el vértice de la parábola se lleva al punto V (x_V,y_V), la ecuación de esta parábola ahora será la que se muestra en la imagen.

Análogamente, vemos las expresiones de la ecuación canónica o reducida para las parábolas con ejes coincidentes con el eje de ordenadas o con el eje de abscisas, siempre con el vértice en el origen O (0,0), pero ahora con valores negativos de las x y de las y respectivamente. Se muestra en las dos imágenes siguientes:

Y la segunda:

Otras ecuaciones de la parábola

La ecuación de la parábola con vértice V (x_V,y_V) y el eje vertical paralelo al eje OY es:

En la que las constantes tienen el siguiente valor:

Donde a ≠ 0 y b y c son números reales.

Lo vemos en la imagen:

La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, el vértice V será el mínimo de la parábola, es decir, se abre hacia arriba. Si la constante a es negativa, el vértice V será máximo de la parábola, o sea, que se abre hacia abajo.

La ecuación de la parábola con vértice V (x_V,y_V) y el eje horizontal paralelo al eje OX es:

En la que las constantes tienen el siguiente valor:

La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, la parábola se abre hacia la derecha. Si la constante a es negativa, la parábola se abre hacia la izquierda.

Ecuación general de la parábola

Los casos anteriores donde el eje es vertical u horizontal, son casos particulares de la ecuación general de la parábola.

Veamos casos de parábolas en los que sus ejes no son verticales ni horizontales. Es el caso de la parábola inclinada o parábola oblicua.

En estos cuatro casos su ecuación tiene todos los términos de la ecuación general de la parábola.

Se puede comprobar que en las cuatro parábolas se cumplen las dos condiciones de la ecuación general de la parábola, es decir que B² – 4AC = 0 y que A y C no son nulos al mismo tiempo.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje de las abscisas OY, que pasa por el punto P (4,0) y su vértice está en V (2,-1).

Hacer su representación gráfica.

Solución:

Como el eje de la parábola E es paralelo al eje OY, la ecuación de la parábola será del tipo:

Sustituyendo las coordenadas del vértice en la ecuación:

Sabemos que la parábola pasa por P (4,0), luego:

Ésta es la ecuación buscada. Como la ordenada del vértice es 2, la ecuación del eje de la parábola, paralelo a OY será x = 2.

Finalmente, como hemos averiguado el parámetro p = 2, la recta directriz, que es perpendicular al eje E y paralelo al eje de ordenadas OX, estará a p/2 del vértice, luego su ecuación será y = -1 –p/2 = -2.

El resultado del ejercicio lo vemos en la imagen:

Ejercicio 2

La ecuación de una parábola es y² = 6x -3. ¿Cuáles serán las ecuaciones de las rectas tangente y normal de ordenada en un punto P de la parábola x = 6,5 y abscisa positiva?

Solución:

Las abscisas de ordenada 6 serán:

Tomaremos +6, pues la abscisa tiene que ser positiva, según el enunciado.

Por tanto, las coordenadas del punto de tangencia serán: P (6,5, 6).

La ecuación de la parábola de este ejercicio se puede transformar en:

Recordemos que es una parábola horizontal, cuya ecuación general es:

En la que las constantes tienen el siguiente valor:

El parámetro p se puede hallar por la fórmula del coeficiente a de la variable al cuadrado de una parábola:

La abscisa y_V del vértice V es la siguiente:

La ordenada x_V del vértice V es la siguiente:

Las coordenadas del vértice serán: V (1,5 , 0).

Como la abscisa del vértice y_V = 0, el eje E y el foco F están sobre el eje OX.

Por lo tanto, las coordenadas del foco F serán:

Y las coordenadas del foco F (2, 0).

La recta del radio vector FP la obtenemos por la fórmula de la recta que pasa por dos puntos:

La ecuación de la recta perpendicular a la directriz D desde el punto P es x = 6.

Con las ecuaciones de los radios vectores, podemos aplicar la ecuación de la bisectriz, que será las ecuaciones de la tangente y la normal a la parábola del ejercicio en el punto P (6,5 , 6).

Como la tangente tiene pendiente positiva, se emplea el signo positivo “+”.

La recta normal en P tiene pendiente negativa, por lo que se emplea el signo “-“.

El resultado aparece en esta imagen.

Ejercicio 3

Hallar la ecuación de una parábola vertical abierta hacia arriba, sabiendo que las coordenadas de su vértice son V (2,-1) y la de uno de sus puntos P (-2,3).

Solución:

Si la parábola es abierta hacia arriba, sabemos que su vértice es el mínimo de esta parábola.

Además, si la parábola es vertical, su ecuación se puede escribir de la forma:

Para que un punto de una función sea un máximo o un mínimo, debe cumplirse que su derivada sea nula. La derivamos y la igualamos a cero:

Asignándole las coordenadas del vértice, que es un mínimo de la parábola, a la derivada:

Despejamos b:

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de los dos puntos conocidos, V (2,-1) y P (-2,3) en la ecuación (Ec 1):

Operando:

Sustituimos b de la (Ec 2) en las ecuaciones (Ec 3) y (Ec 4).

De estas dos últimas ecuaciones, restamos miembro a miembro la segunda de la primera:

Sustituimos el valor hallado de a en la (Ec 2):

Y, por fin, los valores de a y b:

Asignamos el valor de las constantes a, b y c a (Ec 1) y tenemos la ecuación de la parábola que buscábamos.

Ejercicio 4

Conocemos de una parábola dos puntos, M (-4,-8) y N (8,-8) y su parámetro p = -2. Hallar las coordenadas de su vértice y la ecuación de la parábola.

Solución:

Como y_M = y_N = -8, se trata de una parábola de eje vertical.

El parámetro es negativo, por lo que se trata de una parábola abierta hacia abajo, como se ve en la figura:

La ecuación de la parábola vertical es:

Sustituimos en esta ecuación (Ec 1) sucesivamente las coordenadas de M y N:

Y, ahora, las coordenadas de N:

Como los dos segundos términos son iguales, igualamos los primeros términos de las dos ecuaciones (Ec 2) y (Ec 3):

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, por ejemplo en(Ec 4):

Las coordenadas del vértice son: V(2, 1).

Sustituimos las coordenadas del vértice halladas en la ecuación (Ec 1).

Que es la ecuación buscada de la parábola.