Ecuación de la parábola

Ecuación de la parábola

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La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente y tendrá un término en . Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente y tendrá un término en .

Ecuación ordinaria reducida de la parábola

Dibujo de la ecuación de la parábola hacia la derecha

Consideremos una parábola de la imagen de arriba. Es una parábola horizontal (cuyo eje es el X de las abscisas), su vértice está en el centro de coordenadas V (0, 0) y que la parábola está en la parte positiva de las x. En este caso, el foco estará necesariamente en F (p/2,0), a la derecha del vértice. La ecuación de la recta directriz D será x = –p/2, porque la directriz y el foco equidistan del vértice.

Los radios vectores FP y PM, correspondientes a cualquier punto P de la parábola (que, por definición de la parábola, son iguales) tendrán la longitud:

Fórmula de las operaciones canónicas en la ecuación de una parábola hacia la derecha

Operando y simplificando, obtenemos la ecuación ordinaria o canónica reducida de la parábola referida a esta configuración:

Fórmula de la ecuación canónica de la parábola hacia la derecha

Que es la de la parábola horizontal con vértice en (0, 0) y abierta a la derecha, como se muestra en la gráfica de arriba.

(Cabe decir que la ecuación de una parábola horizontal se corresponde con dos funciones. Despejando la variable dependiente y).

Cálculo despejando de la ecuación ordinaria reducida de la parábola

Se ve en la imagen que la solución positiva de la raíz cuadrada es la función cuya gráfica es la media parábola de arriba mientras que la solución negativa es la función de la media parábola de abajo.

Gráfica de la ecuación canónica de la parábola

Volviendo a la ecuación ordinaria reducida de la parábola horizontal. Si se desplazara el vértice a un punto V(xv, yv), tendríamos la ecuación canónica en forma vértice o ecuación ordinaria de la parábola horizontal. Se escribirá así:

Fórmula de la ecuación ordinaria reducida de la parábola

Como se ve en la imagen. Está también la ecuación de la recta directriz D:

Dibujo de la ecuación de la parábola hacia la derecha trasladado

Vamos a la ecuación ordinaria reducida de la parábola, pero ahora con su eje vertical y coincidente con el eje de las ordenadas, su vértice es el centro de coordenadas V (0,0) y la parábola está en la parte positiva de las y (abierta hacia arriba).

Dibujo de la ecuación de la parábola hacia arriba

Esta ecuación ordinaria o canónica reducida vertical se deduce con el mismo procedimiento empleado en la reducida horizontal, es decir, a partir de operar sobre la igualdad de los radios vectores de cualquier punto P(x,y).

Ahora, si se desplazara el vértice de la parábola vertical a un punto V(xv, yv), tendríamos la ecuación ordinaria en forma vértice de la parábola vertical o ecuación canónica de la parábola vertical. Se escribirá así:

Fórmula de la ecuación ordinaria reducida de la parábola vertical

En la imagen está también la ecuación de la recta directriz D:

Dibujo de la ecuación de la parábola hacia arriba trasladado

Análogamente, vemos las expresiones de la ecuación ordinaria o canónica reducida para las parábolas con ejes coincidentes con el eje de las abscisas o con el eje de las ordenadas, siempre con el vértice en el origen V (0,0), pero ahora con valores negativos de las x y de las y respectivamente. Se muestra en las dos imágenes siguientes:

Ecuación canónica reducida de la parábola horizontal abierta a la izquierda:

Dibujo de la ecuación de la parábola hacia la izquierda

Ecuación canónica reducida de la parábola vertical abierta hacia abajo:

Dibujo de la ecuación de la parábola hacia abajo

Otras ecuaciones de la parábola

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La ecuación canónica u ordinaria de la parábola vertical con vértice V (xV,yV) se puede transformar en la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola vertical:

Fórmula de la ecuación general de una parábola vertical

En la que las constantes tienen el siguiente valor:

Fórmula de las constantes en la ecuación general de una parábola vertical

Donde a ≠ 0 y b y c son números reales.

Lo vemos en la imagen:

Dibujo de la ecuación de la parábola vertical

La ecuación del eje es:

Fórmula de la ecuación del eje en los elementos

Las coordenadas del vértice sobre los coeficientes de la misma forma de ecuación son:

Coordenadas del vértice del eje en los elementos

La parábola cortará el eje de ordenadas en el punto (0,c).

La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, el vértice V será el mínimo de la parábola, es decir, se abre hacia arriba. Si la constante a es negativa, el vértice V será máximo de la parábola, o sea, que se abre hacia abajo.

Unas parábolas verticales:

Dibujo de las diferentes clases de parábola con el eje vertical según su pendiente y si la a es negativa o positiva

Igualmente, la ecuación canónica u ordinaria de la parábola horizontal con vértice V(xV,yV) se puede transformar en la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola horizontal:

Fórmula de la ecuación general de una parábola horizontal

En la que las constantes tienen el siguiente valor:

Fórmula de las constantes en la ecuación general de una parábola horizontal

Al igual que en la parábola vertical, la constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, la parábola se abre hacia la derecha. Si la constante a es negativa, la parábola se abre hacia la izquierda.

Ya se ha dicho que todas las parábolas tienen excentricidad e = 1, por lo que son semejantes, variando su apariencia de cerradas o abiertas.

Dibujo de las diferentes clases de parábola con el eje vertical según su pendiente y si la a es negativa o positiva

Es importante el signo que afecta al parámetro p. En las parábolas verticales, cuando el signo del parámetro es positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando el signo de p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando el signo de p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando el signo de p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.

En este cuadro se muestran las cuatro configuraciones de parábolas horizontales o verticales con el vértice en el origen V(0,0):

Cuadro de la configuración de las parábolas

Ecuación general de la parábola

Los casos anteriores donde el eje es vertical u horizontal, son casos particulares de la parabola, porque el eje puede ser oblícuo.

Todas las posiciones que pueda adoptar una parábola están representadas por la ecuación general de la parábola:

Fórmula de la ecuación general de la parábola

Veamos casos de la parábola inclinada o parábola oblicua.

Dibujo de las parábolas inclinadas u oblicuas

En estos cuatro casos su ecuación tiene todos los términos de la ecuación general de la parábola.

Se puede comprobar que en las cuatro parábolas se cumplen las dos condiciones de la ecuación general de la parábola, es decir que B2 – 4AC = 0 y que A y C no son nulos al mismo tiempo.

La Ecuación general de la parábola tiene estos dos casos particulares:

  1. Ecuación general de la parábola con el eje vertical

    La ecuación general de la parábola queda reducida a estos términos cuando se refiere a la parábola vertical:

    Fórmula de la ecuación general de la parábola con el eje vertical en el vértice

    De la ecuación ordinaria de la parábola vertical:

    Fórmula de la ecuación ordinaria reducida de la parábola vertical

    Se pasa a su ecuación general desarrollando el cuadrado del binomio, agrupando los términos y ajustando la correspondencia de coeficientes:

    Cálculo del binomio en la ecuación general de la parábola
  2. Ecuación general de la parábola con el eje horizontal

    La ecuación general de la parábola queda reducida a estos términos cuando se refiere a la parábola horizontal:

    Fórmula de la ecuación general de la parábola horizontal

    Por el mismo procedimiento que en la parábola vertical, los coeficientes de la ecuación general tienen estas equivalencias:

    Coeficientes de la ecuación general de la parábola horizontal

    Nota. No confundir los coeficientes A, B, C, D, E y F de la ecuación general de la parábola (en mayúsculas) con los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola (minúsculas).

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje de las abscisas OY, que pasa por el punto P (4,0) y su vértice está en V (2,-1).

Hacer su representación gráfica.

Solución:

Como el eje de la parábola E es paralelo al eje OY, la ecuación de la parábola será del tipo:

Cálculo del tipo de ecuación en el ejemplo 1 de ecuación de la parábola

Sustituyendo las coordenadas del vértice en la ecuación:

Cálculo del tipo de ecuación sustituyendo el vértice en el ejemplo 1 de ecuación de la parábola

Sabemos que la parábola pasa por P (4,0), luego:

Cálculo del tipo de ecuación sustituyendo el vértice en el ejemplo 1 de ecuación de la parábola

Ésta es la ecuación buscada. Como la ordenada del vértice es 2, la ecuación del eje de la parábola, paralelo a OY será x = 2.

Finalmente, como hemos averiguado el parámetro p = 2, la recta directriz, que es perpendicular al eje E y paralelo al eje de ordenadas OX, estará a p/2 del vértice, luego su ecuación será y = -1 –p/2 = -2.

El resultado del ejercicio lo vemos en la imagen:

Dibujo de la gráfica del ejercicio 1 de ecuación de la parábola

Ejercicio 2

La ecuación de una parábola es y2 = 6x -3. ¿Cuáles serán las ecuaciones de las rectas tangente y normal de ordenada en un punto P de la parábola x = 6,5 y ordenada positiva?

Dibujo de la gráfica del ejercicio 2 de ecuación de la parábola

Solución:

Las ordenadas para una abscisa x = 6,5 serán:

Cálculo de las abscisas en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

Tomaremos yP = +6, pues la ordenada tiene que ser positiva, según el enunciado.

Por tanto, las coordenadas del punto de tangencia serán: P (6,5, 6).

La ecuación de la parábola de este ejercicio se puede transformar en:

Cálculo de la segunda ecuación en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

Recordemos que es una parábola horizontal, cuya ecuación general es:

Fórmula de la ecuación general de una parábola horizontal

En la que las constantes hemos visto que tienen el siguiente valor:

Cálculo de las constantes en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

El parámetro p se puede hallar por la fórmula del coeficiente a de la variable al cuadrado de una parábola:

Cálculo del valor de p en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

La abscisa yV del vértice V es la siguiente:

Cálculo de la abscisa del vértice en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

La ordenada xV del vértice V es la siguiente:

Cálculo de la ordenada del vértice en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

Las coordenadas del vértice serán: V (1,5 , 0).

Como la abscisa del vértice yV = 0, el eje E y el foco F están sobre el eje OX.

Por lo tanto, la abscisa del foco F será:

Cálculo de la ordenada del foco en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

Y las coordenadas del foco F (2, 0).

La recta del radio vector FP la obtenemos por la fórmula de la recta que pasa por dos puntos:

Cálculo del radio vector FP en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

La ecuación de la recta perpendicular a la directriz D desde el punto P es x = 6.

Con las ecuaciones de los radios vectores, podemos aplicar la ecuación de la bisectriz, que serán las ecuaciones de la tangente y la normal a la parábola del ejercicio en el punto P (6,5 , 6).

Cálculo de las fórmulas de las bisectrices en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

Como la tangente tiene pendiente positiva, se emplea el signo positivo “+”.

Cálculo de la ecuación de la tangente en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

La recta normal en P tiene pendiente negativa, por lo que se emplea el signo “-“.

Cálculo de la ecuación de la normal en el ejemplo 2 de ecuación de la parábola

El resultado aparece en esta imagen:

Dibujo del resultado del ejercicio 2 de ecuación de la parábola

Ejercicio 3

Hallar la ecuación de una parábola vertical abierta hacia arriba, sabiendo que las coordenadas de su vértice son V (2,-1) y la de uno de sus puntos P (-2,3).

Dibujo de la gráfica del ejercicio 3 de ecuación de la parábola

Solución:

Si la parábola es abierta hacia arriba, sabemos que su vértice es el mínimo de esta parábola.

Además, si la parábola es vertical, su ecuación se puede escribir de la forma:

Cálculo de la ecuación 1 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Para que un punto de una función sea un máximo o un mínimo, debe cumplirse que su derivada sea nula. La derivamos y la igualamos a cero:

Cálculo de la derivada en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Asignándole las coordenadas del vértice, que es un mínimo de la parábola, a la derivada:

Cálculo del máximo de la derivada en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Despejamos b:

Cálculo de la ecuación 2 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de los dos puntos conocidos, V (2,-1) y P (-2,3) en la ecuación (Ec 1):

Cálculo al sustituir en la ecuación 1 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Operando:

Cálculo de las ecuaciones 3 y 4 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Sustituimos b de la (Ec 2) en las ecuaciones (Ec 3) y (Ec 4).

Cálculo al sustituir en las ecuaciones 3 y 4 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

De estas dos últimas ecuaciones, restamos miembro a miembro la segunda de la primera:

Cálculo al restar miembro a miembro en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Sustituimos el valor hallado de a en la (Ec 2):

Cálculo al sustituir en la ecuación 2 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Y, por fin, los valores de a y b:

Cálculo de los valores a y b en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Asignamos el valor de las constantes a, b y c a (Ec 1) y tenemos la ecuación de la parábola que buscábamos.

Cálculo de la solución en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola
Dibujo de la solución del ejercicio 3 de ecuación de la parábola

Ejercicio 4

Conocemos de una parábola dos puntos, M (-4,-8) y N (8,-8) y su parámetro p = -2. Hallar las coordenadas de su vértice y la ecuación de la parábola.

Solución:

Como yM = yN = -8, se trata de una parábola de eje vertical.

El parámetro es negativo, por lo que se trata de una parábola abierta hacia abajo, como se ve en la figura:

Dibujo de la gráfica del ejercicio 4 de ecuación de la parábola

La ecuación de la parábola vertical es:

Cálculo de la ecuación 1 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Sustituimos en esta ecuación (Ec 1) sucesivamente las coordenadas de M y N:

Cálculo de la ecuación 2 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Y, ahora, las coordenadas de N:

Cálculo de la ecuación 3 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Como los dos segundos términos son iguales, igualamos los primeros términos de las dos ecuaciones (Ec 2) y (Ec 3):

Cálculo de la ecuación 4 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, por ejemplo en(Ec 4):

Cálculo al sustituir en la ecuación 4 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Las coordenadas del vértice son: V(2, 1).

Sustituimos las coordenadas del vértice halladas en la ecuación (Ec 1).

Cálculo al sustituir en la ecuación 1 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Que es la ecuación buscada de la parábola.

Dibujo de la solución del ejercicio 4 de ecuación de la parábola

Ejercicio 5

1. Determinar las coordenadas del vértice y el foco.

2. Las longitudes del parámetro y del lado recto.

3. Las ecuaciones del eje de la parábola y de su recta directriz, todo de una parábola, cuya ecuación en forma general es:

Ecuación en forma general en el ejercicio 1

Solución:

Como el término que está al cuadrado es el de x2, se trata de una parábola vertical.

Se modifica la ecuación general para llegar a la forma ordinaria o canónica en forma vértice, del tipo:

Ecuación en forma canónica en el ejercicio 1

Agrupar los términos en x, dejando el resto a la derecha:

Cálculo agrupando la x en el ejercicio 1

Buscando formar el cuadrado de un binomio, se añade el cuadrado del número necesario a derecha e izquierda de la igualdad, en este caso 2², el 4:

Cálculo del binomio en el ejercicio 1

Se puede formar a la izquierda de la igualdad el cuadrado de un binomio, apareciendo, en la forma adecuada, la ecuación canónica u ordinaria de la parábola en forma vértice:

Cálculo del binomio 2 en el ejercicio 1

De aquí se desprenden, si se consulta la expresión puesta en la forma canónica u ordinaria, las coordenadas del vértice y la dimensión del parámetro. El doble de p es el lado recto:

Cálculo del parámetro en el ejercicio 1

Como el signo del segundo término de la igualdad es negativo, se trata de una parábola vertical abierta hacia abajo. Por tanto, su eje, que pasa por el vértice de abscisa xV = 2, será una recta vertical con ecuación:

Cálculo de la ecuación de la recta vertical en el ejercicio 1

Arriba del vértice estará la recta directriz a una distancia p/2 = 2/2 = 1 sobre la ordenada del vértice yV, por lo que la ecuación de la recta directriz será:

Cálculo de la ecuación de la recta directriz en el ejercicio 1

Finalmente, las coordenadas del foco, situado sobre el eje y por debajo del vértice, también a una distancia p/2 = 2/2 = 1, serán:

Cálculo del foco en el ejercicio 1

Los resultados del ejercicio se muestran en la imagen:

Gráfica del ejercicio 1 de elementos de la parábola

Ejercicio 6

Hallar la ecuación de la parábola vertical que pasa por los puntos P1 (-1,7), P2 (2,4) y P3 (3,11).

Solución:

Como es una parábola vertical, su ecuación cuadrática en forma estándar será en , en la forma:

Fórmula de la ecuación cuadrática en los elementos

Esta ecuación debe cumplirse para los tres puntos por los que pasa la parábola:

Cálculo de los puntos en el ejercicio 6

Operando, nos queda un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

Cálculo del sistema de ecuaciones en el ejercicio 6

Se resuelve el sistema, por cualquiera de los métodos, como reducción, sustitución o determinante de Gauss, que aquí no se desarrollará. La solución del sistema es:

Cálculo 2 del sistema de ecuaciones en el ejercicio 6

Por lo tanto, la ecuación de la parábola será:

Solución en el ejercicio 6

Se ve en la figura:

Gráfica del ejercicio 6 de la ecuacion de la parábola

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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12 Respuestas

  1. LIDA PEREZ dice:

    Encuentre la ecuación de la parábola que tenga vértice en el
    origen, abra a la derecha y pase por el punto P(7,-3). A su vez,
    encuentre el foco de la parábola.
    Una ecuación de una parábola con vértice en el origen, que abre a la
    derecha, tiene la forma 𝑥 = 𝑎𝑦2 para cualquier número 𝑎. Si P(7, –
    3) está sobre la gráfica, entonces podemos sustituir 7 por x y -3 por
    y para hallar 𝑎:
    ___________________________________________________________________________________
    En consecuencia, la ecuación de la parábola que se pide es:
    ___________________________________________________________________________________
    Ahora bien, el foco está a una distancia p a la derecha del vértice. Como el valor de 𝑎 = __________,
    tenemos que:
    𝑝 =
    1
    4𝑎
    = _____________________________
    Y por tanto, el foco tiene coordenadas:

    • Respuestas dice:

      Lo encuentras en esta página.
      La ecuación canónica o reducida de esta parábola horizontal, abierta a la derecha y vértice en el origen es:
      = 2px
      Donde p es el parámetro
      También se escribe como dices:
      x = ay²
      Siendo:
      a = 1 / 2p
      Se halla a
      7 = a * (-3)²
      a = 7 / 9
      Ecuación:
      x = (7/9)
      Parámetro:
      p = 1 / 2a = 9 / 14
      Ojo,en esta página se toma el criterio de que el parámetro p es la distancia entre foco y directriz.
      Termínalo, anda
      El foco en:
      F(9/28, 0), F(0,3214, 0)

  2. Mirko dice:

    hallar la ecuacion vectorial de la parabola que pasa por los puntos (1,2) , (-2,23) y cuyo eje es la recta 4x-3y+2=0

  3. alejandro dice:

    la x siempre es la variable independiente, nunca se vuelve la dependiente. Solo cambia la expresion de la ecuacion.. pero para encontrar los valores de cualquier forma, se despeja la “y” y se le van dando valores a “x”.

  4. hector dice:

    como resolver esto: Determinar la ecuación de cada una de las siguientes parábolas, cuyo vértice es V (23/4,1/2); y cuyo foco es F (6,1/2)

    • Respuestas dice:

      Das las coordenadas del vértice V(23/4, 1/2) y las coordenadas del foco F(6, 1/2).
      Es una parábola con el eje paralelo al eje Y. (V y F tienen de ordenada 1/2).
      En esta página tienes su fórmula.
      p = 0,5
      Resultado:
      y² – x – y + 6 = 0

  5. hariz dice:

    Muy buena explicación…Gracias

  6. henry dice:

    como calculo el valor de “a”, hay alguna formula para ello ?

  7. Lector dice:

    Las funciones escritas en colores que hay en las representaciones gráficas están al revés, ¿no?

    donde pone y=x2 (al cuadrado) realmente se ve la gráfica de x=y2 y viceversa.

  8. Alexia López dice:

    Muy buena información.

  9. melecio dice:

    Bastante didáctico, como soy principiante me ha ayudado mucho.

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