Ecuación de la parábola

La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente y tendrá un término en x². Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente y tendrá un término en y².

Ecuación ordinaria reducida de la parábola

Consideremos una parábola de la imagen de arriba. Es una parábola horizontal (cuyo eje es el X de las abscisas), su vértice está en el centro de coordenadas V (0, 0) y que la parábola está en la parte positiva de las x. En este caso, el foco estará necesariamente en F (p/2,0), a la derecha del vértice. La ecuación de la recta directriz D será x = –p/2, porque la directriz y el foco equidistan del vértice.

Los radios vectores FP y PM, correspondientes a cualquier punto P de la parábola (que, por definición de la parábola, son iguales) tendrán la longitud:

Operando y simplificando, obtenemos la ecuación ordinaria o canónica reducida de la parábola referida a esta configuración:

Que es la de la parábola horizontal con vértice en (0, 0) y abierta a la derecha, como se muestra en la gráfica de arriba.

(Cabe decir que la ecuación de una parábola horizontal se corresponde con dos funciones. Despejando la variable dependiente y).

Se ve en la imagen que la solución positiva de la raíz cuadrada es la función cuya gráfica es la media parábola de arriba mientras que la solución negativa es la función de la media parábola de abajo.

Volviendo a la ecuación ordinaria reducida de la parábola horizontal. Si se desplazara el vértice a un punto V(x_v, y_v), tendríamos la ecuación canónica en forma vértice o ecuación ordinaria de la parábola horizontal. Se escribirá así:

Como se ve en la imagen. Está también la ecuación de la recta directriz D:

Vamos a la ecuación ordinaria reducida de la parábola, pero ahora con su eje vertical y coincidente con el eje de las ordenadas, su vértice es el centro de coordenadas V (0,0) y la parábola está en la parte positiva de las y (abierta hacia arriba).

Esta ecuación ordinaria o canónica reducida vertical se deduce con el mismo procedimiento empleado en la reducida horizontal, es decir, a partir de operar sobre la igualdad de los radios vectores de cualquier punto P(x,y).

Ahora, si se desplazara el vértice de la parábola vertical a un punto V(x_v, y_v), tendríamos la ecuación ordinaria en forma vértice de la parábola vertical o ecuación canónica de la parábola vertical. Se escribirá así:

En la imagen está también la ecuación de la recta directriz D:

Análogamente, vemos las expresiones de la ecuación ordinaria o canónica reducida para las parábolas con ejes coincidentes con el eje de las abscisas o con el eje de las ordenadas, siempre con el vértice en el origen V (0,0), pero ahora con valores negativos de las x y de las y respectivamente. Se muestra en las dos imágenes siguientes:

Ecuación canónica reducida de la parábola horizontal abierta a la izquierda:

Ecuación canónica reducida de la parábola vertical abierta hacia abajo:

Otras ecuaciones de la parábola

La ecuación canónica u ordinaria de la parábola vertical con vértice V (x_V,y_V) se puede transformar en la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola vertical:

En la que las constantes tienen el siguiente valor:

Donde a ≠ 0 y b y c son números reales.

Lo vemos en la imagen:

La ecuación del eje es:

Las coordenadas del vértice sobre los coeficientes de la misma forma de ecuación son:

La parábola cortará el eje de ordenadas en el punto (0,c).

La constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, el vértice V será el mínimo de la parábola, es decir, se abre hacia arriba. Si la constante a es negativa, el vértice V será máximo de la parábola, o sea, que se abre hacia abajo.

Unas parábolas verticales:

Igualmente, la ecuación canónica u ordinaria de la parábola horizontal con vértice V(x_V,y_V) se puede transformar en la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola horizontal:

En la que las constantes tienen el siguiente valor:

Al igual que en la parábola vertical, la constante a indica lo “abierta” que es la parábola. Cuando el valor de a es menor, la parábola aparecerá más abierta. Dicho de otra manera, la parábola aparecerá más abierta cuando el parámetro p sea mayor. Si la constante a es positiva, la parábola se abre hacia la derecha. Si la constante a es negativa, la parábola se abre hacia la izquierda.

Ya se ha dicho que todas las parábolas tienen excentricidad e = 1, por lo que son semejantes, variando su apariencia de cerradas o abiertas.

Es importante el signo que afecta al parámetro p. En las parábolas verticales, cuando el signo del parámetro es positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando el signo de p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando el signo de p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando el signo de p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.

En este cuadro se muestran las cuatro configuraciones de parábolas horizontales o verticales con el vértice en el origen V(0,0):

Ecuación general de la parábola

Los casos anteriores donde el eje es vertical u horizontal, son casos particulares de la parabola, porque el eje puede ser oblícuo.

Todas las posiciones que pueda adoptar una parábola están representadas por la ecuación general de la parábola:

Veamos casos de la parábola inclinada o parábola oblicua.

En estos cuatro casos su ecuación tiene todos los términos de la ecuación general de la parábola.

Se puede comprobar que en las cuatro parábolas se cumplen las dos condiciones de la ecuación general de la parábola, es decir que B² – 4AC = 0 y que A y C no son nulos al mismo tiempo.

La Ecuación general de la parábola tiene estos dos casos particulares:

1. Ecuación general de la parábola con el eje vertical

   La ecuación general de la parábola queda reducida a estos términos cuando se refiere a la parábola vertical:

   

   De la ecuación ordinaria de la parábola vertical:

   

   Se pasa a su ecuación general desarrollando el cuadrado del binomio, agrupando los términos y ajustando la correspondencia de coeficientes:

   
2. Ecuación general de la parábola con el eje horizontal

   La ecuación general de la parábola queda reducida a estos términos cuando se refiere a la parábola horizontal:

   

   Por el mismo procedimiento que en la parábola vertical, los coeficientes de la ecuación general tienen estas equivalencias:

   

   Nota. No confundir los coeficientes A, B, C, D, E y F de la ecuación general de la parábola (en mayúsculas) con los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola (minúsculas).

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje de las abscisas OY, que pasa por el punto P (4,0) y su vértice está en V (2,-1).

Hacer su representación gráfica.

Solución:

Como el eje de la parábola E es paralelo al eje OY, la ecuación de la parábola será del tipo:

Sustituyendo las coordenadas del vértice en la ecuación:

Sabemos que la parábola pasa por P (4,0), luego:

Ésta es la ecuación buscada. Como la ordenada del vértice es 2, la ecuación del eje de la parábola, paralelo a OY será x = 2.

Finalmente, como hemos averiguado el parámetro p = 2, la recta directriz, que es perpendicular al eje E y paralelo al eje de ordenadas OX, estará a p/2 del vértice, luego su ecuación será y = -1 –p/2 = -2.

El resultado del ejercicio lo vemos en la imagen:

Ejercicio 2

La ecuación de una parábola es y² = 6x -3. ¿Cuáles serán las ecuaciones de las rectas tangente y normal de ordenada en un punto P de la parábola x = 6,5 y ordenada positiva?

Solución:

Las ordenadas para una abscisa x = 6,5 serán:

Tomaremos y_P = +6, pues la ordenada tiene que ser positiva, según el enunciado.

Por tanto, las coordenadas del punto de tangencia serán: P (6,5, 6).

La ecuación de la parábola de este ejercicio se puede transformar en:

Recordemos que es una parábola horizontal, cuya ecuación general es:

En la que las constantes hemos visto que tienen el siguiente valor:

El parámetro p se puede hallar por la fórmula del coeficiente a de la variable al cuadrado de una parábola:

La abscisa y_V del vértice V es la siguiente:

La ordenada x_V del vértice V es la siguiente:

Las coordenadas del vértice serán: V (1,5 , 0).

Como la abscisa del vértice y_V = 0, el eje E y el foco F están sobre el eje OX.

Por lo tanto, la abscisa del foco F será:

Y las coordenadas del foco F (2, 0).

La recta del radio vector FP la obtenemos por la fórmula de la recta que pasa por dos puntos:

La ecuación de la recta perpendicular a la directriz D desde el punto P es x = 6.

Con las ecuaciones de los radios vectores, podemos aplicar la ecuación de la bisectriz, que serán las ecuaciones de la tangente y la normal a la parábola del ejercicio en el punto P (6,5 , 6).

Como la tangente tiene pendiente positiva, se emplea el signo positivo “+”.

La recta normal en P tiene pendiente negativa, por lo que se emplea el signo “-“.

El resultado aparece en esta imagen:

Ejercicio 3

Hallar la ecuación de una parábola vertical abierta hacia arriba, sabiendo que las coordenadas de su vértice son V (2,-1) y la de uno de sus puntos P (-2,3).

Solución:

Si la parábola es abierta hacia arriba, sabemos que su vértice es el mínimo de esta parábola.

Además, si la parábola es vertical, su ecuación se puede escribir de la forma:

Para que un punto de una función sea un máximo o un mínimo, debe cumplirse que su derivada sea nula. La derivamos y la igualamos a cero:

Asignándole las coordenadas del vértice, que es un mínimo de la parábola, a la derivada:

Despejamos b:

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de los dos puntos conocidos, V (2,-1) y P (-2,3) en la ecuación (Ec 1):

Operando:

Sustituimos b de la (Ec 2) en las ecuaciones (Ec 3) y (Ec 4).

De estas dos últimas ecuaciones, restamos miembro a miembro la segunda de la primera:

Sustituimos el valor hallado de a en la (Ec 2):

Y, por fin, los valores de a y b:

Asignamos el valor de las constantes a, b y c a (Ec 1) y tenemos la ecuación de la parábola que buscábamos.

Ejercicio 4

Conocemos de una parábola dos puntos, M (-4,-8) y N (8,-8) y su parámetro p = -2. Hallar las coordenadas de su vértice y la ecuación de la parábola.

Solución:

Como y_M = y_N = -8, se trata de una parábola de eje vertical.

El parámetro es negativo, por lo que se trata de una parábola abierta hacia abajo, como se ve en la figura:

La ecuación de la parábola vertical es:

Sustituimos en esta ecuación (Ec 1) sucesivamente las coordenadas de M y N:

Y, ahora, las coordenadas de N:

Como los dos segundos términos son iguales, igualamos los primeros términos de las dos ecuaciones (Ec 2) y (Ec 3):

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, por ejemplo en(Ec 4):

Las coordenadas del vértice son: V(2, 1).

Sustituimos las coordenadas del vértice halladas en la ecuación (Ec 1).

Que es la ecuación buscada de la parábola.

Ejercicio 5

1. Determinar las coordenadas del vértice y el foco.

2. Las longitudes del parámetro y del lado recto.

3. Las ecuaciones del eje de la parábola y de su recta directriz, todo de una parábola, cuya ecuación en forma general es:

Solución:

Como el término que está al cuadrado es el de x², se trata de una parábola vertical.

Se modifica la ecuación general para llegar a la forma ordinaria o canónica en forma vértice, del tipo:

Agrupar los términos en x, dejando el resto a la derecha:

Buscando formar el cuadrado de un binomio, se añade el cuadrado del número necesario a derecha e izquierda de la igualdad, en este caso 2², el 4:

Se puede formar a la izquierda de la igualdad el cuadrado de un binomio, apareciendo, en la forma adecuada, la ecuación canónica u ordinaria de la parábola en forma vértice:

De aquí se desprenden, si se consulta la expresión puesta en la forma canónica u ordinaria, las coordenadas del vértice y la dimensión del parámetro. El doble de p es el lado recto:

Como el signo del segundo término de la igualdad es negativo, se trata de una parábola vertical abierta hacia abajo. Por tanto, su eje, que pasa por el vértice de abscisa x_V = 2, será una recta vertical con ecuación:

Arriba del vértice estará la recta directriz a una distancia p/2 = 2/2 = 1 sobre la ordenada del vértice y_V, por lo que la ecuación de la recta directriz será:

Finalmente, las coordenadas del foco, situado sobre el eje y por debajo del vértice, también a una distancia p/2 = 2/2 = 1, serán:

Los resultados del ejercicio se muestran en la imagen:

Ejercicio 6

Hallar la ecuación de la parábola vertical que pasa por los puntos P₁ (-1,7), P₂ (2,4) y P₃ (3,11).

Solución:

Como es una parábola vertical, su ecuación cuadrática en forma estándar será en x², en la forma:

Esta ecuación debe cumplirse para los tres puntos por los que pasa la parábola:

Operando, nos queda un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

Se resuelve el sistema, por cualquiera de los métodos, como reducción, sustitución o determinante de Gauss, que aquí no se desarrollará. La solución del sistema es:

Por lo tanto, la ecuación de la parábola será:

Se ve en la figura: