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Rectas perpendiculares

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Las rectas perpendiculares son un caso particular de dos rectas secantes. Forman un ángulo de 90°. Sus pendientes son recíprocas (o inverso multiplicativo) y de signo contrario. La condición se expresa alternativamente así:

Restricción para que dos rectas sean perpendiculares

Que depende de si la pendiente se ha obtenido de la ecuación general, de la ecuación en forma explícita, o en forma simétrica.

Igualmente, dos rectas son perpendiculares si también lo son sus vectores directores. En consecuencia, el producto escalar de dichos vectores será nulo.

Dibujo de dos rectas perpendiculares

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a otra recta r, 2x + 3y – 6 = 0 que la intersecta en el punto de corte de la recta r con el eje de las abscisas. Poner la ecuación de s en su forma general:

Solución:

Cálculo de la solución en el ejercicio 1 de ecuaciones de la recta

El punto de corte es (3, 0).

La pendiente de r es -2/3. Por lo que la pendiente de la recta perpendicular será su inversa negativa, es decir ms = 3/2. Podemos plantear la ecuación punto-pendiente de la perpendicular s en el punto de corte (3, 0).

Cálculo de la ecuación en el ejercicio 1 de ecuaciones de la recta

La imagen de estas rectas será:

Dibujo del ejercicio 1 de ecuaciones de una recta

Ejercicio 2

Ver si, de estos dos pares de rectas, algún par es perpendicular:

Enunciado del ejercicio 2 de rectas perpendiculares

Solución:

1). Este par de rectas están puestas en la ecuación general. Habrá que hacer la comprobación de si cumple la condición de rectas perpendiculares para este tipo de ecuación:

Cálculo por la ecuación general ejercicio 2 de rectas perpendiculares

Cumple la condición, luego son perpendiculares.

2). El segundo par esta expresado en ecuación explícita. Se hace la comprobación de perpendicularidad correspondiente:

Cálculo por la ecuación explícita ejercicio 2 de rectas perpendiculares

No cumple la igualdad, por lo tanto no son perpendiculares.

Ejercicio 3

La recta r pasa por los puntos (6, -1) y (-3, -4) y la recta s por los puntos (4, -5) y (1, 4). Comprobar si son perpendiculares:

Solución:

Como las dos rectas están definidas por dos de sus puntos, utilizaremos la fórmula de la pendiente de una recta que da lugar a la ecuación punto-punto:

Fórmula de la pendiente de una recta mediante su ecuación punto-punto

Con esta fórmula, hallamos la pendiente de cada recta.

Cálculo por la pendiente de las rectas en el ejercicio 3 de rectas perpendiculares

Se comprueba si son perpendiculares a partir de la fórmula basada en las dos pendientes:

Cálculo por la solución en el ejercicio 3 de rectas perpendiculares

Las dos rectas son perpendiculares.

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