Elementos de una elipse

Elementos de una elipse

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Dibujo de los elementos de la elipse.

Los elementos de una elipse más importantes son:

  • Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.
  • Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2c. c es la semidistancia focal.
  • Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
  • Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:
    Fórmula de la suma de las distancias a los focos de la elipse.

    (La constante de la elipse es precisamente la longitud 2a).

  • Eje focal o principal: es la recta que pasa por los focos, el centro y también por dos vértices. Es uno de los ejes de simetría de la elipse. En él está el segmento 2a.
  • Dibujo de la relación entre semiejes y la distancia focal de la elipse.

  • Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes cumplen que:
    Fórmula de la relación entre los semiejes y la distancia focal de la elipse.

    Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.

  • Eje normal o secundario: es la recta que pasa por el centro de la elipse y es perpendicular al eje focal. Es el segundo de los ejes de simetría de la elipse. En él está el segmento 2b. El eje principal y el eje normal son los dos ejes de simetría de la elipse.
    Dibujo del eje normal y del eje secundario
  • Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2).
  • Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos (eje focal), F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro (eje normal). Es decir, son los puntos I, J, K y L
  • Lado recto (LR): es el segmento perpendicular al eje principal que, pasando por un foco, une dos puntos de la elipse. Su longitud es:
    Fórmula de la longitud del lado recto de la elipse.

Ejercicio

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Las ecuaciones paramétricas de una elipse son:

Enunciado del ejercicio 1 de los elementos de una elipse

Hallar:

a) Los dos semiejes a y b.

b) Las coordenadas del centro de la elipse O (o1, o2).

c) La distancia focal 2c y las coordenadas de los focos F1 y F2.

d) Las coordenadas de los cuatro vértices I, J, K y L.

e) La longitud del lado recto LR.

Solución:

Transformamos las ecuaciones paramétricas para llegar a la ordinaria:

Cálculo de las ecuaciones ordinarias del ejercicio 1

Este último paso mediante la identidad fundamental de la trigonometría. Y llegamos a la formulación canónica u ordinaria de una elipse horizontal con el centro desplazado del origen de coordenadas:

Cálculo de las ecuaciones ordinarias con centro en el origen del ejercicio 1

a) A la vista de esta ecuación, los semiejes son:

Cálculo de los semiejes del ejercicio 1

b) Las coordenadas del centro de la elipse:

Cálculo del centro del ejercicio 1

c) La distancia focal 2c y las coordenadas de los focos F1 y F2 se obtienen, la primera a través del teorema de Pitágoras:

Dibujo y cálculo de la distancia focal del ejercicio 1

Las coordenadas de los focos se obtienen, sabiendo que estos están sobre el eje principal o focal, de ecuación y = -7, y conocemos el semieje a = 10:

Dibujo y cálculo de los focos del ejercicio 1

d) Las coordenadas de los cuatro vértices I, J, K y L se obtienen sumando o restando el largo de los semiejes a y b de las coordenadas del centro de la elipse, como se ve en la figura:

Dibujo y cálculo de los cuatro vértices del ejercicio 1

c) La longitud del lado recto LR.

Cálculo de la longitud del lado recto del ejercicio 1

El mismo resultado se puede obtener de la diferencia de las ordenadas de los extremos del lado recto, en su intersección con la elipse. Estas ordenadas se pueden obtener de la ecuación de la elipse, dándole a la x el valor de la abscisa de uno de los focos, por ejemplo del F2, con abscisa 20.

Cálculo 2 de la longitud del lado recto del ejercicio 1

En la imagen:

Dibujo y cálculo del lado recto del ejercicio 1

El lado recto es de 7,2.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2021


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4 Respuestas

  1. Susana gomez dice:

    Felicidades

  2. carlos dice:

    ¿y la excentricidad (e) y el achatamiento (f)?
    e=[raiz(a^2-b^2)] /2
    f=(a-b)/a

    • Respuestas dice:

      La fórmula que propones para la excentricidad la encontrarás en la página elipse de UNIVERSO FÓRMULAS.
      e siempre es positiva e igual o menor que 1.
      A mayor excentricidad, mayor achatamiento.

  3. Omar dice:

    Excelente Informacion

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