Cono

Superficie cónica de revolución

Una superficie cónica de revolución se engendra cuando, a partir de dos rectas que se cortan, una de ellas gira alrededor de la otra que permanece fija. La recta que gira es la generatriz de la superficie cónica y la fija es su eje.

El ángulo que forman la generatriz, en todas sus posiciones, y el eje es constante.

Cono, un sólido

Si cortamos una superficie cónica con un plano tenemos un cono. Si el plano es perpendicular al eje, tenemos un cono recto.

El cono recto (o cono de revolución, o cono circular recto) es el sólido de revolución formado al hacer girar un triángulo rectángulo (superficie generatriz S_g) alrededor de uno de sus catetos. Llamamos base al círculo inferior del cono y g a la hipotenusa que confluye en el vértice.

Elementos del cono

Los elementos del cono son:

• Base (B): es la cara plana inferior del cono, que en el caso del cono circular recto, es un círculo cuyo radio es uno de los catetos del triángulo generador.
• Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.
• Vértice (V): punto donde confluyen las infinitas generatrices.
• Generatriz (g): Línea que al girar sobre el eje del cono engendra la superficie cónica de revolución.
• Superficie generatriz (S_g):en el cono recto de revolución,es el triángulo rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus catetos, que es el eje de rotación y, que es a su vez, la altura del cono. El otro cateto es el radio de la base. La hipotenusa la generatriz (g).

Área del cono

El área de la base del cono es y la de la superficie lateral .

Por lo tanto, la fórmula del área total del cono de revolución será:

Tipos de cono

Los conos pueden ser:

• Conos rectos (o conos de revolución): La superficie curva es una superficie cónica de revolución.
  
• Cono oblicuo de base elíptica: La altura no pasa por el centro de la base y por el vértice. Si su cara lateral es una superficie cónica de revolución, su sección recta es un círculo.
• Cono oblicuo de base circular: La altura no pasa por el centro de la base y por el vértice. La sección recta, perpendicular a la recta que une el vértice con el centro de la base, recta al eje es una elipse.

  En este caso, la superficie lateral es una superficie reglada que se denomina superficie cónica de no revolución en la que no existe una recta que tenga un ángulo constante con las posiciones de la generatriz.

  

Volumen del cono

La fórmula general del volumen del cono es:

Que es la misma fórmula que la del volumen de la pirámide.

En el caso del cono de base circular, tanto recto como oblicuo, su volumen será:

(Ver el principio de Cavalieri).

En cambio, si el cono es oblicuo de base elíptica, para hallar su volumen, procederemos de la siguiente manera.

Como la base es una elipse, para calcularla usaremos la fórmula del área de la elipse, siendo .

Luego el volumen del cono oblicuo de base elíptica será:

¿Sabías que hay una relación 1, 2, 3, entre el volumen del cono, el volumen de la esfera y el volumen del cilindro, siempre que los tres sólidos tengan el mismo radio r de la base, o mismo radio, y la misma altura h = 2r?