El vértice de una parábola V es el punto donde la parábola corta a su eje.
Hemos visto que la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola vertical se puede deducir de la ecuación canónica u ordinaria de la parábola vertical.
Si a las coordenadas del vértice les llamamosV (xV, yV), la transformación es:

De la igualdad 1) de arriba se deduce el coeficiente b de la igualdad 2). Si en esa equivalencia sustituimos el valor del parámetro p que se obtiene del coeficiente a, tenemos la abscisa del vértice, xV:

El término libre de 1) será igual al término libre c de la igualdad 2) y sabemos el valor de p en función de a:

En la primera igualdad se sustituyen los valores de xV y de p, simplificando la expresión:

Se despeja y, pasando de una fracción mixta a común denominador, llegamos a la expresión de la ordenada del vértice de la parábola en función de los parámetros de la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola vertical:

El resultado lo vemos en la imagen:

La parábola vertical podía igualmente expresarse mediante la ecuación general de la parábola con el eje vertical.

A partir de esa ecuación se deducen las coordenadas del vértice mediante las expresiones:

Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
1. Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola vertical cuya ecuación cuadrática en forma estándar es:

2. Hallar las mismas coordenadas, pero expresada la parábola mediante la ecuación general de la parábola con el eje vertical:

Solución:
1. Dada la forma estándar de la ecuación cuadrática de esta parábola, se aplicarán las fórmulas de las coordenadas del vértice para este caso:

Aplicando valores, se obtienen las coordenadas:

Y se obtiene que las coordenadas del vértice de esta parábola son V(2, -4).
2. Para hallar las coordenadas del vértice a partir de la ecuación general, aplicaremos las fórmulas aplicando los valores de los coeficientes:

Visto en la imagen:

Se han obtenido con los dos procedimientos las coordenadas del vértice, que son V(2, -4).
Ejercicio 2
Hallar la ecuación de una parábola vertical abierta hacia arriba, sabiendo que las coordenadas de su vértice son V (2,-1) y la de uno de sus puntos P (-2,3).

Solución:
Si la parábola es abierta hacia arriba, sabemos que su vértice es el mínimo de esta parábola.
Además, si la parábola es vertical, su ecuación se puede escribir de la forma:

Para que un punto de una función sea un máximo o un mínimo, debe cumplirse que su derivada sea nula. La derivamos y la igualamos a cero:

Asignándole las coordenadas del vértice, que es un mínimo de la parábola, a la derivada:

Despejamos b:

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de los dos puntos conocidos, V (2,-1) y P (-2,3) en la ecuación (Ec 1):

Operando:

Sustituimos b de la (Ec 2) en las ecuaciones (Ec 3) y (Ec 4).

De estas dos últimas ecuaciones, restamos miembro a miembro la segunda de la primera:

Sustituimos el valor hallado de a en la (Ec 2):

Y, por fin, los valores de a y b:

Asignamos el valor de las constantes a, b y c a (Ec 1) y tenemos la ecuación de la parábola que buscábamos.


Ejercicio 3
Conocemos de una parábola dos puntos, M (-4,-8) y N (8,-8) y su parámetro p = -2. Hallar las coordenadas de su vértice y la ecuación de la parábola.
Solución:
Como yM = yN = -8, se trata de una parábola de eje vertical.
El parámetro es negativo, por lo que se trata de una parábola abierta hacia abajo, como se ve en la figura:

La ecuación de la parábola vertical es:

Sustituimos en esta ecuación (Ec 1) sucesivamente las coordenadas de M y N:

Y, ahora, las coordenadas de N:

Como los dos segundos términos son iguales, igualamos los primeros términos de las dos ecuaciones (Ec 2) y (Ec 3):

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, por ejemplo en(Ec 4):

Las coordenadas del vértice son: V(2, 1).
Sustituimos las coordenadas del vértice halladas en la ecuación (Ec 1).

Que es la ecuación buscada de la parábola.

En el ejercicio 3 se dice al comienzo que p=2, pero luego dice que el parametro es negativo y desarrolla las ecuaciones en base a eso. ¿Es un error? ¿O por qué luego se dice que el parametro es negativo?
El parametro p=2
Gracias Matías. Hay un error tipográfico. En el enunciado debería decir p = -2
Y mira en la página Parábola o la página Elementos de una parábola de UNIVERSO FÓRMULAS, en el apartado referido al parámetro.
Parámetro: p es la distancia entre el foco y el punto más próximo de la directriz.
Es importante el signo que lleve el parámetro en la ecuación. En las parábolas verticales, cuando el parámetro lleva signo positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando el signo de p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando el signo que lleva p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando el signo que lleva p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.
(Algunos autores llaman parámetro a la distancia entre foco y vértice).
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