Vértice de una parábola

Vértice de una parábola

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El vértice de una parábola V es el punto donde la parábola corta a su eje.

Hemos visto que la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola vertical se puede deducir de la ecuación canónica u ordinaria de la parábola vertical.

Si a las coordenadas del vértice les llamamosV (xV, yV), la transformación es:

Cálculo de las dos formas de ecuación de parábola vertical en el vértice de una parábola

De la igualdad 1) de arriba se deduce el coeficiente b de la igualdad 2). Si en esa equivalencia sustituimos el valor del parámetro p que se obtiene del coeficiente a, tenemos la abscisa del vértice, xV:

Fórmula de xV en el vértice

El término libre de 1) será igual al término libre c de la igualdad 2) y sabemos el valor de p en función de a:

Fórmula del término libre en el vértice

En la primera igualdad se sustituyen los valores de xV y de p, simplificando la expresión:

Calculando el término libre en el vértice

Se despeja y, pasando de una fracción mixta a común denominador, llegamos a la expresión de la ordenada del vértice de la parábola en función de los parámetros de la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola vertical:

Fórmula de la abscisa del vértice de una parábola

El resultado lo vemos en la imagen:

Dibujo del vértice de la parábola

La parábola vertical podía igualmente expresarse mediante la ecuación general de la parábola con el eje vertical.

Fórmula de la ecuación general de la parábola con el eje vertical en el vértice

A partir de esa ecuación se deducen las coordenadas del vértice mediante las expresiones:

Fórmula de las coordenadas del vértice

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

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1. Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola vertical cuya ecuación cuadrática en forma estándar es:

Enunciado del ejercicio 1 del vértice de la parábola

2. Hallar las mismas coordenadas, pero expresada la parábola mediante la ecuación general de la parábola con el eje vertical:

Enunciado 2 del ejercicio 1 del vértice

Solución:

1. Dada la forma estándar de la ecuación cuadrática de esta parábola, se aplicarán las fórmulas de las coordenadas del vértice para este caso:

Cálculo de la ecuación cuadrática del ejercicio 1 del vértice de la parábola

Aplicando valores, se obtienen las coordenadas:

Cálculo de las coordenadas del ejercicio 1 del vértice de la parábola

Y se obtiene que las coordenadas del vértice de esta parábola son V(2, -4).

2. Para hallar las coordenadas del vértice a partir de la ecuación general, aplicaremos las fórmulas aplicando los valores de los coeficientes:

Cálculo de los coeficientes del ejercicio 1 del vértice de la parábola

Visto en la imagen:

Gráfica del ejercicio 1 en el vértice de una parábola

Se han obtenido con los dos procedimientos las coordenadas del vértice, que son V(2, -4).

Ejercicio 2

Hallar la ecuación de una parábola vertical abierta hacia arriba, sabiendo que las coordenadas de su vértice son V (2,-1) y la de uno de sus puntos P (-2,3).

Dibujo de la gráfica del ejercicio 3 de ecuación de la parábola

Solución:

Si la parábola es abierta hacia arriba, sabemos que su vértice es el mínimo de esta parábola.

Además, si la parábola es vertical, su ecuación se puede escribir de la forma:

Cálculo de la ecuación 1 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Para que un punto de una función sea un máximo o un mínimo, debe cumplirse que su derivada sea nula. La derivamos y la igualamos a cero:

Cálculo de la derivada en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Asignándole las coordenadas del vértice, que es un mínimo de la parábola, a la derivada:

Cálculo del máximo de la derivada en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Despejamos b:

Cálculo de la ecuación 2 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de los dos puntos conocidos, V (2,-1) y P (-2,3) en la ecuación (Ec 1):

Cálculo al sustituir en la ecuación 1 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Operando:

Cálculo de las ecuaciones 3 y 4 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Sustituimos b de la (Ec 2) en las ecuaciones (Ec 3) y (Ec 4).

Cálculo al sustituir en las ecuaciones 3 y 4 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

De estas dos últimas ecuaciones, restamos miembro a miembro la segunda de la primera:

Cálculo al restar miembro a miembro en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Sustituimos el valor hallado de a en la (Ec 2):

Cálculo al sustituir en la ecuación 2 en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Y, por fin, los valores de a y b:

Cálculo de los valores a y b en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola

Asignamos el valor de las constantes a, b y c a (Ec 1) y tenemos la ecuación de la parábola que buscábamos.

Cálculo de la solución en el ejemplo 3 de ecuación de la parábola
Dibujo de la solución del ejercicio 3 de ecuación de la parábola

Ejercicio 3

Conocemos de una parábola dos puntos, M (-4,-8) y N (8,-8) y su parámetro p = -2. Hallar las coordenadas de su vértice y la ecuación de la parábola.

Solución:

Como yM = yN = -8, se trata de una parábola de eje vertical.

El parámetro es negativo, por lo que se trata de una parábola abierta hacia abajo, como se ve en la figura:

Dibujo de la gráfica del ejercicio 4 de ecuación de la parábola

La ecuación de la parábola vertical es:

Cálculo de la ecuación 1 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Sustituimos en esta ecuación (Ec 1) sucesivamente las coordenadas de M y N:

Cálculo de la ecuación 2 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Y, ahora, las coordenadas de N:

Cálculo de la ecuación 3 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Como los dos segundos términos son iguales, igualamos los primeros términos de las dos ecuaciones (Ec 2) y (Ec 3):

Cálculo de la ecuación 4 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, por ejemplo en(Ec 4):

Cálculo al sustituir en la ecuación 4 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Las coordenadas del vértice son: V(2, 1).

Sustituimos las coordenadas del vértice halladas en la ecuación (Ec 1).

Cálculo al sustituir en la ecuación 1 en el ejemplo 4 de ecuación de la parábola

Que es la ecuación buscada de la parábola.

Dibujo de la solución del ejercicio 4 de ecuación de la parábola

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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4 Respuestas

  1. Matias dice:

    En el ejercicio 3 se dice al comienzo que p=2, pero luego dice que el parametro es negativo y desarrolla las ecuaciones en base a eso. ¿Es un error? ¿O por qué luego se dice que el parametro es negativo?

    • Matias dice:

      El parametro p=2

    • Respuestas dice:

      Gracias Matías. Hay un error tipográfico. En el enunciado debería decir p = -2
      Y mira en la página Parábola o la página Elementos de una parábola de UNIVERSO FÓRMULAS, en el apartado referido al parámetro.
      Parámetro: p es la distancia entre el foco y el punto más próximo de la directriz.
      Es importante el signo que lleve el parámetro en la ecuación. En las parábolas verticales, cuando el parámetro lleva signo positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando el signo de p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando el signo que lleva p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando el signo que lleva p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.

      (Algunos autores llaman parámetro a la distancia entre foco y vértice).

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