Vértice de una parábola

El vértice de una parábola V es el punto donde la parábola corta a su eje.

Hemos visto que la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola vertical se puede deducir de la ecuación canónica u ordinaria de la parábola vertical.

Si a las coordenadas del vértice les llamamosV (x_V, y_V), la transformación es:

De la igualdad 1) de arriba se deduce el coeficiente b de la igualdad 2). Si en esa equivalencia sustituimos el valor del parámetro p que se obtiene del coeficiente a, tenemos la abscisa del vértice, x_V:

El término libre de 1) será igual al término libre c de la igualdad 2) y sabemos el valor de p en función de a:

En la primera igualdad se sustituyen los valores de x_V y de p, simplificando la expresión:

Se despeja y, pasando de una fracción mixta a común denominador, llegamos a la expresión de la ordenada del vértice de la parábola en función de los parámetros de la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola vertical:

El resultado lo vemos en la imagen:

La parábola vertical podía igualmente expresarse mediante la ecuación general de la parábola con el eje vertical.

A partir de esa ecuación se deducen las coordenadas del vértice mediante las expresiones:

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

1. Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola vertical cuya ecuación cuadrática en forma estándar es:

2. Hallar las mismas coordenadas, pero expresada la parábola mediante la ecuación general de la parábola con el eje vertical:

Solución:

1. Dada la forma estándar de la ecuación cuadrática de esta parábola, se aplicarán las fórmulas de las coordenadas del vértice para este caso:

Aplicando valores, se obtienen las coordenadas:

Y se obtiene que las coordenadas del vértice de esta parábola son V(2, -4).

2. Para hallar las coordenadas del vértice a partir de la ecuación general, aplicaremos las fórmulas aplicando los valores de los coeficientes:

Visto en la imagen:

Se han obtenido con los dos procedimientos las coordenadas del vértice, que son V(2, -4).

Ejercicio 2

Hallar la ecuación de una parábola vertical abierta hacia arriba, sabiendo que las coordenadas de su vértice son V (2,-1) y la de uno de sus puntos P (-2,3).

Solución:

Si la parábola es abierta hacia arriba, sabemos que su vértice es el mínimo de esta parábola.

Además, si la parábola es vertical, su ecuación se puede escribir de la forma:

Para que un punto de una función sea un máximo o un mínimo, debe cumplirse que su derivada sea nula. La derivamos y la igualamos a cero:

Asignándole las coordenadas del vértice, que es un mínimo de la parábola, a la derivada:

Despejamos b:

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de los dos puntos conocidos, V (2,-1) y P (-2,3) en la ecuación (Ec 1):

Operando:

Sustituimos b de la (Ec 2) en las ecuaciones (Ec 3) y (Ec 4).

De estas dos últimas ecuaciones, restamos miembro a miembro la segunda de la primera:

Sustituimos el valor hallado de a en la (Ec 2):

Y, por fin, los valores de a y b:

Asignamos el valor de las constantes a, b y c a (Ec 1) y tenemos la ecuación de la parábola que buscábamos.

Ejercicio 3

Conocemos de una parábola dos puntos, M (-4,-8) y N (8,-8) y su parámetro p = -2. Hallar las coordenadas de su vértice y la ecuación de la parábola.

Solución:

Como y_M = y_N = -8, se trata de una parábola de eje vertical.

El parámetro es negativo, por lo que se trata de una parábola abierta hacia abajo, como se ve en la figura:

La ecuación de la parábola vertical es:

Sustituimos en esta ecuación (Ec 1) sucesivamente las coordenadas de M y N:

Y, ahora, las coordenadas de N:

Como los dos segundos términos son iguales, igualamos los primeros términos de las dos ecuaciones (Ec 2) y (Ec 3):

Sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, por ejemplo en(Ec 4):

Las coordenadas del vértice son: V(2, 1).

Sustituimos las coordenadas del vértice halladas en la ecuación (Ec 1).

Que es la ecuación buscada de la parábola.