Elementos de una parábola

Los elementos de una parábola son:

• Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.
• Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco.
• Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola. Es igual al segmento perpendicular a la directriz desde el punto correspondiente.
• Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el vértice. Es el eje de simetría de la parábola.

• Parámetro: p es la distancia entre el foco y el punto más próximo de la directriz.

  Es importante el signo que lleve el parámetro en la ecuación. En las parábolas verticales, cuando el parámetro lleva signo positivo la parábola se abre hacia arriba. Cuando el signo de p es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Igualmente, en las parábolas horizontales, cuando el signo que lleva p es positivo, se abre hacia la derecha y cuando el signo que lleva p es negativo, la parábola se abre a la izquierda.

  (Algunos autores llaman parámetro a la distancia entre foco y vértice).

• Vértice: es el punto V de la intersección del eje y la parábola.
• Distancia focal: distancia entre el foco F y el vértice V. Es igual a p/2.
• Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).
• Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la parábola.
• Cuerda focal: una cuerda que pasa por el foco F.
• Lado recto: Cuerda focal paralela a la directriz D y, por tanto, perpendicular al eje E. Su longitud es dos veces el módulo del parámetro (2p, pues se ven en la figura dos cuadrados unidos iguales de lado p).

  (Debe recordarse que entre foco, vértice y directriz, el vértice V está siempre en el centro. El orden es F – V – D o D – V – F).

En una parábola de eje vertical con su ecuación cuadrática expresada en forma estándar:

La ecuación del eje es:

Las coordenadas del vértice sobre los coeficientes de la misma forma de ecuación son:

Ejercicio

1. Determinar las coordenadas del vértice y el foco.

2. Las longitudes del parámetro y del lado recto.

3. Las ecuaciones del eje de la parábola y de su recta directriz, todo de una parábola, cuya ecuación en forma general es:

Solución:

Como el término que está al cuadrado es el de x², se trata de una parábola vertical.

Se modifica la ecuación general para llegar a la forma ordinaria o canónica en forma vértice, del tipo:

Agrupar los términos en x, dejando el resto a la derecha:

Buscando formar el cuadrado de un binomio, se añade el cuadrado del número necesario a derecha e izquierda de la igualdad, en este caso 2², el 4:

Se puede formar a la izquierda de la igualdad el cuadrado de un binomio, apareciendo, en la forma adecuada, la ecuación canónica u ordinaria de la parábola en forma vértice:

De aquí se desprenden, si se consulta la expresión puesta en la forma canónica u ordinaria, las coordenadas del vértice y la dimensión del parámetro. El doble de p es el lado recto:

Como el signo del segundo término de la igualdad es negativo, se trata de una parábola vertical abierta hacia abajo. Por tanto, su eje, que pasa por el vértice de abscisa x_V = 2, será una recta vertical con ecuación:

Arriba del vértice estará la recta directriz a una distancia p/2 = 2/2 = 1 sobre la ordenada del vértice y_V, por lo que la ecuación de la recta directriz será:

Finalmente, las coordenadas del foco, situado sobre el eje y por debajo del vértice, también a una distancia p/2 = 2/2 = 1, serán:

Los resultados del ejercicio se muestran en la imagen: