Ecuación de una elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F₁ y F₂) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d₁ y d₂ es constante.

Existen diferentes ecuaciones de la elipse, que veremos a continuación:

Ecuación ordinaria o canónica de la elipse

A partir de la propiedad de la elipse, que es que la suma de la distancia de cualquier punto a los focos (los radios vectores) es igual a 2a, en una elipse horizontal (de eje focal paralelo al eje de las abscisas X) y el centro situado en un punto O (o₁, o₂):

Se llega a la ecuación ordinaria o canónica de la elipse:

En el caso de que la elipse, también horizontal, esté centrada en (0, 0), la ecuación ordinaria reducida es:

Si el eje principal fuese paralelo al eje de las ordenadas OY:

La ecuación ordinaria de esa elipse vertical con centro en el punto (o₁, o₂) se convierte en:

Igualmente, una elipse vertical con el centro coincidente con el centro de coordenadas (0, 0).

Su ecuación ordinaria se convertiría en:

Fácilmente se puede apreciar cual es el semieje mayor, viendo cuál de las incógnitas lleva el denominador mayor.

Ecuación paramétrica de la elipse

A partir de una elipse horizontal con centro en O (o₁, o₂) y semiejes a y b, se trazan dos circunferencias de radios también a y b.

Un segmento cualquiera OQ, que corta a la circunferencia menor en P, forma un cualquiera t con el semieje positivo de las abscisas.

A la vista de la imagen, la abscisa del punto Q coincidirá con la de un punto X de la elipse.

De la misma manera, la ordenada del punto P será la misma que la del punto X.

Podemos plantear las ecuaciones paramétricas de la elipse:

Si la elipse horizontal está centrada en el origen de coordenadas (0, 0), sus ecuaciones paramétricas se simplificarán.

La misma construcción geométrica se aplicará en el caso de una elipse vertical, cuyo centro esté en el origen de coordenadas (0, 0).

Aquí, las ecuaciones paramétricas serán.

Ecuación general de la elipse

Desarrollando los cuadrados de los numeradores de la ecuación ordinaria, eliminando denominadores y simplificando, se llega a la ecuación general de la elipse, que en su forma extensa es la ecuación general de las cónicas:

Para que estos coeficientes se correspondan con una elipse, tiene que cumplirse que A y C deben ser los dos positivos (el mismo signo).

Si los dos ejes de la elipse son paralelos a los ejes de coordenadas, se cumple también necesariamente que:

En estos dos casos de elipse horizontal o vertical, no está presente en la ecuación general el término Bxy:

Si el eje principal es paralelo al eje de abscisas (elipse horizontal), A debe ser menor que C.

Si el eje principal coincide con el de abscisas, además E = 0.

Si el centro de la elipse horizontal está en el origen de coordenadas:

Y, al contrario, si el eje principal es paralelo al eje de ordenadas (elipse vertical), C debe ser menor que A:

Cuando una elipse vertical tiene el eje coincidente con el de las ordenadas, además D = 0. Y, si la elipse vertical tiene su centro en el origen de las coordenadas, D = 0 y E = 0.

Cuando la elipse está rotada o inclinada (los ejes no son paralelos a los coordenados) ha de existir el término Bxy:

Solamente cuando la rotación es tal que el eje principal es paralelo a las bisectrices de los cuadrantes de los ejes coordenados, entonces A = C:

Y debe de cumplirse:

Condición que es general para toda elipse.

Las equivalencias de los coeficientes de la ecuación general en una elipse horizontal son:

Y las de una elipse vertical:

Ejercicios

Ejercicio 1

Sea una elipse de centro O=(4,-2) y de semiejes a=3 cm y b=2 cm. La ecuación de esta elipse es:

Ejercicio 2

Tenemos una elipse, con el centro O en el origen de coordenadas, cuya ecuación es:

Encuentra en esta elipse sus focos, los cuatro vértices y su excentricidad.

Solución:

Dividiendo ambos términos por 144, la ecuación se nos transforma en su forma ordinaria o canónica reducida:

Como se ha dicho, se ve que el denominador mayor (16) está con la y, es decir, sobre el eje de ordenadas.

En base a la ecuación de este caso, podemos comprobar que:

Ahora hallaremos los focos con la ecuación conocida, basada en el Teorema de Pitágoras:

Y la elipse queda así:

Queda ahora calcular su excentricidad mediante la fórmula:

Mediante la equivalencia de los coeficientes de la ecuación general vista más arriba, se llegaría al mismo resultado de los semiejes. Y también de que se trata de una elipse vertical centrada en el origen de coordenadas.

Ejercicio 3

Dada la ecuación general de una cónica:

Determinar:

a) Si esta ecuación general de una cónica se corresponde con una elipse. Caso de serlo, su posición respecto a los ejes de coordenadas.

b) Transformar la ecuación en forma general en la ecuación ordinaria o canónica.

c) Hallar los semiejes a y b y las coordenadas del centro de la elipse (o₁, o₂).

d) Escribir las ecuaciones paramétricas correspondientes.

Solución:

a) Como A y C tienen signo positivo (9 y 25) esta cónica es una elipse. Como la ecuación general no tiene el término Bxy, no se trata de una elipse inclinada o rotada. Al ser A menor que C (9 ≤ 25), es una elipse horizontal. Y como tiene los términos Dx y Ey, el centro de la elipse no está en ningún eje coordenado.

b) Se hacen transformaciones para obtener en el primer término la suma de los cuadrados de dos binomios:

Se dividen los dos términos por 225 y se obtiene:

Llegando a la forma ordinaria o canónica de una elipse horizontal con el centro fuera de los ejes coordenados, cuya expresión era:

c) A la vista de la ecuación ordinaria, se llega directamente a los semiejes de la elipse (a = 5 y b = 3) y a las coordenadas de su centro (-6, 4):

d) Y las ecuaciones paramétricas son:

A los mismos resultados en los ejes y las coordenadas del centro se hubiera llegado recordando las equivalencias de los coeficientes de la ecuación general, sabiendo que se refieren a una elipse horizontal, porque C ≤ A y no existe el término Bxy: