Ecuación de una elipse

Ecuación de una elipse

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Dibujo de la elipse para el cálculo de su ecuación.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.

Existen diferentes ecuaciones de la elipse, que veremos a continuación:

Ecuación ordinaria o canónica de la elipse

A partir de la propiedad de la elipse, que es que la suma de la distancia de cualquier punto a los focos (los radios vectores) es igual a 2a, en una elipse horizontal (de eje focal paralelo al eje de las abscisas X) y el centro situado en un punto O (o1o2):

Dibujo de la ecuación de la elipse

Se llega a la ecuación ordinaria o canónica de la elipse:

Fórmula de la ecuación de la elipse

En el caso de que la elipse, también horizontal, esté centrada en (0, 0), la ecuación ordinaria reducida es:

Fórmula de la ecuación de la elipse

Si el eje principal fuese paralelo al eje de las ordenadas OY:

Dibujo de la ecuación ordinaria de la elipse paralelo al eje OY

La ecuación ordinaria de esa elipse vertical con centro en el punto (o1, o2) se convierte en:

Fórmula de la ecuación ordinaria de la elipse vertical

Igualmente, una elipse vertical con el centro coincidente con el centro de coordenadas (0, 0).

Dibujo de la ecuación ordinaria de la elipse vertical

Su ecuación ordinaria se convertiría en:

Fórmula de la ecuación ordinaria de la elipse vertical de centro (0,0)

Fácilmente se puede apreciar cual es el semieje mayor, viendo cuál de las incógnitas lleva el denominador mayor.

Ecuación paramétrica de la elipse

A partir de una elipse horizontal con centro en O (o1, o2) y semiejes a y b, se trazan dos circunferencias de radios también a y b.

Un segmento cualquiera OQ, que corta a la circunferencia menor en P, forma un cualquiera t con el semieje positivo de las abscisas.

A la vista de la imagen, la abscisa del punto Q coincidirá con la de un punto X de la elipse.

De la misma manera, la ordenada del punto P será la misma que la del punto X.

Dibujo de la ecuación parametrica de la elipse horizontal

Podemos plantear las ecuaciones paramétricas de la elipse:

Fórmula de la ecuación paramétrica de la elipse horizontal

Si la elipse horizontal está centrada en el origen de coordenadas (0, 0), sus ecuaciones paramétricas se simplificarán.

Fórmula de la ecuación paramétrica de la elipse horizontal centrada en (0,0)

La misma construcción geométrica se aplicará en el caso de una elipse vertical, cuyo centro esté en el origen de coordenadas (0, 0).

Dibujo de la ecuación parametrica de la elipse vertical

Aquí, las ecuaciones paramétricas serán.

Fórmula de la ecuación paramétrica de la elipse vertical centrada en (0,0)

Ecuación general de la elipse

Desarrollando los cuadrados de los numeradores de la ecuación ordinaria, eliminando denominadores y simplificando, se llega a la ecuación general de la elipse, que en su forma extensa es la ecuación general de las cónicas:

Fórmula de la ecuación general de la elipse como cónica

Para que estos coeficientes se correspondan con una elipse, tiene que cumplirse que A y C deben ser los dos positivos (el mismo signo).

Si los dos ejes de la elipse son paralelos a los ejes de coordenadas, se cumple también necesariamente que:

Condición de la ecuación general de la elipse

En estos dos casos de elipse horizontal o vertical, no está presente en la ecuación general el término Bxy:

Falta de Bxy de la ecuación general de la elipse

Si el eje principal es paralelo al eje de abscisas (elipse horizontal), A debe ser menor que C.

Dibujo de la elipse con eje principal paralelo al eje de abscisas

Si el eje principal coincide con el de abscisas, además E = 0.

Dibujo de la elipse con eje principal coincide con el eje de abscisas

Si el centro de la elipse horizontal está en el origen de coordenadas:

Dibujo de la elipse con centro en el origen de coordenadas

Y, al contrario, si el eje principal es paralelo al eje de ordenadas (elipse vertical), C debe ser menor que A:

Dibujo de la elipse con eje principal paralelo al eje de ordendas

Cuando una elipse vertical tiene el eje coincidente con el de las ordenadas, además D = 0. Y, si la elipse vertical tiene su centro en el origen de las coordenadas, D = 0 y E = 0.

Cuando la elipse está rotada o inclinada (los ejes no son paralelos a los coordenados) ha de existir el término Bxy:

Dibujo de la elipse inclinada

Solamente cuando la rotación es tal que el eje principal es paralelo a las bisectrices de los cuadrantes de los ejes coordenados, entonces A = C:

Dibujo de la elipse inclinada con el eje principal paralelo a las bisectrices de los cuadrantes

Y debe de cumplirse:

Fórmula de la ecuación general de la elipse inclinada

Condición que es general para toda elipse.

Las equivalencias de los coeficientes de la ecuación general en una elipse horizontal son:

Dibujo de la elipse con sus equivalencias

Y las de una elipse vertical:

Dibujo de la elipse vertical

Ejercicios

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Ejercicio 1

Dibujo de un ejemplo de elipse para el cálculo de su ecuación.

Sea una elipse de centro O=(4,-2) y de semiejes a=3 cm y b=2 cm. La ecuación de esta elipse es:

Ejemplo de la ecuación de una elipse.

Ejercicio 2

Tenemos una elipse, con el centro O en el origen de coordenadas, cuya ecuación es:

Ejemplo 2 de la ecuación de una elipse.

Encuentra en esta elipse sus focos, los cuatro vértices y su excentricidad.

Solución:

Dividiendo ambos términos por 144, la ecuación se nos transforma en su forma ordinaria o canónica reducida:

Cálculo de la forma canónica en el ejemplo 2 de la ecuación de una elipse.

Como se ha dicho, se ve que el denominador mayor (16) está con la y, es decir, sobre el eje de ordenadas.

En base a la ecuación de este caso, podemos comprobar que:

Cálculo de los valores a y b en el ejemplo 2 de la ecuación de una elipse.

Ahora hallaremos los focos con la ecuación conocida, basada en el Teorema de Pitágoras:

Cálculo de los focos en el ejemplo 2 de la ecuación de una elipse.

Y la elipse queda así:

Ejemplo 2 de la ecuación de una elipse con los focos y vértices.

Queda ahora calcular su excentricidad mediante la fórmula:

Cálculo de la excentricidad en el ejemplo 2 de la ecuación de una elipse.

Mediante la equivalencia de los coeficientes de la ecuación general vista más arriba, se llegaría al mismo resultado de los semiejes. Y también de que se trata de una elipse vertical centrada en el origen de coordenadas.

Cálculo de los coeficientes en el ejemplo 2

Ejercicio 3

Dada la ecuación general de una cónica:

Enunciado del ejercicio 3

Determinar:

a) Si esta ecuación general de una cónica se corresponde con una elipse. Caso de serlo, su posición respecto a los ejes de coordenadas.

b) Transformar la ecuación en forma general en la ecuación ordinaria o canónica.

c) Hallar los semiejes a y b y las coordenadas del centro de la elipse (o1, o2).

d) Escribir las ecuaciones paramétricas correspondientes.

Solución:

a) Como A y C tienen signo positivo (9 y 25) esta cónica es una elipse. Como la ecuación general no tiene el término Bxy, no se trata de una elipse inclinada o rotada. Al ser A menor que C (9 ≤ 25), es una elipse horizontal. Y como tiene los términos Dx y Ey, el centro de la elipse no está en ningún eje coordenado.

b) Se hacen transformaciones para obtener en el primer término la suma de los cuadrados de dos binomios:

Cálculo de la suma de los cuadrados del ejercicio 3

Se dividen los dos términos por 225 y se obtiene:

Cálculo 2 de la suma de los cuadrados del ejercicio 3

Llegando a la forma ordinaria o canónica de una elipse horizontal con el centro fuera de los ejes coordenados, cuya expresión era:

Fórmula de la ecuación de la elipse

c) A la vista de la ecuación ordinaria, se llega directamente a los semiejes de la elipse (a = 5 y b = 3) y a las coordenadas de su centro (-6, 4):

Dibujo de los semiejes en el ejercicio 3

d) Y las ecuaciones paramétricas son:

Cálculo de las ecuaciones paramétricas del ejercicio 3

A los mismos resultados en los ejes y las coordenadas del centro se hubiera llegado recordando las equivalencias de los coeficientes de la ecuación general, sabiendo que se refieren a una elipse horizontal, porque C ≤ A y no existe el término Bxy:

Cálculo de la ecuación general del ejercicio 3

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2021


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4 Respuestas

  1. Mariel Cabrera dice:

    Mi ecuacion es x2-2xy+2y2+x-12y+28 me puedes ayudar como sacar la elipse xfa o como saber si es una elipse gracias

    • Respuestas dice:

      Tu ecuación es de la forma general de una cónica
      Ax² + Bxy + Cy² + Dx +Ey + F = 0
      Como B ≠ 0
      (-2 ≠ 0)
      Es una cónica con el eje rotado o inclinado
      Y como A y C son positivos y B² – 4AC < 0
      ((-2)² – 4 * 1 * 2 = 4 – 8 = -4 < 0)
      Es una elipse inclinada
      El ángulo de inclinación del eje principal respecto al de las abscisas es:
      cot 2α = (A – C) / B = (1 – 2) / -2 = 1 / 2
      α = 31,72°

  2. Roque Daniel Maggio dice:

    Hola, en el ejercicio 1, aplicando la formula queda: (X-4)^2 / 9 + (Y+2)^2/4 = 1

    Alguien me podra decir como calcular los valores de X e Y?? gracias

    • Respuestas dice:

      El ejercicio pide hallar la ecuación de la elipse. Los pares de valores x e y que la cumplen son coordenadas de puntos de esta elipse.
      Con esta ecuación, si tienes la abscisa de un punto, puedes hallar la o las dos ordenadas correspondientes a esta abscisa (y viceversa).

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