Tetraedro

Un tetraedro regular es un poliedro cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros iguales.

Es uno de los cinco sólidos platónicos.

Según el Teorema de Euler para poliedros, el tetraedro tiene cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices.

En cada uno de sus vértices concurren tres caras.

Un tetraedro no tiene diagonales.

En este cuadro se reflejan estos elementos, del tetraedro y del resto de poliedros:

Siendo:

• C, el número de caras del poliedro.
• V, el número de sus vértices.
• A, las aristas.
• D, las diagonales.

Tetraedro irregular

El tetraedro irregular es un poliedro formado por cuatro poliedros diferentes. Dos casos son:

El tetraedro trirrectángulo tiene tres caras que son triángulos rectángulos, de los que sus ángulos rectos concurren en un mismo vértice. Sus cuatro alturas concurren en un punto. Es ortocéntrico.

El tetraedro isofacial es otro poliedro irregular cuya base es un triángulo rectángulo y sus tres cares laterales son tres triángulos isósceles iguales. Es una pirámide triangular regular.

Área del tetraedro

A partir de la arista se pueden obtener el área del tetraedro regular:

¿Cómo se obtiene la fórmula?

Como éste consta de cuatro caras que son triángulos equiláteros, sabemos que el área de un triángulo equilátero es:

Volumen del tetraedro

Su volumen se calcula a partir de una de sus aristas (a):

¿Cómo se obtiene la fórmula?

Veamos la procedencia de esta fórmula. Sabemos el volumen de la pirámide, que es un tercio del área de la base por el altura.

Hallemos en primer lugar la altura de esta pirámide particular.

Fijémonos en el triángulo rectángulo marcado en rojo en la figura, en donde la hipotenusa es la arista a, el cateto de la base OV es las dos terceras partes () de la altura de cualquier cara, que son triángulos equiláteros. En centros de un triángulo vemos que el punto O, que es donde confluyen las alturas de un triángulo equilátero, el ortocentro se encuentra a dos tercios del vértice. El otro cateto, h_t es la altura buscada.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Una vez tenemos su altura, podemos sustituir su expresión en la fórmula del volumen de la pirámide.