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El octaedro (u octoedro) es un poliedro formado por ocho caras. Si éstas son triángulos equiláteros iguales, se trata de un octaedro regular, uno de los cinco sólidos perfectos (o sólidos platónicos).
Según el Teorema de Euler para poliedros, el octaedro tiene ocho caras, doce aristas y seis vértices.
A cada vértice de tetraedro concurren cuatro caras.
Un octaedro tiene tres diagonales iguales.
En este cuadro se reflejan estos elementos, del octaedro y del resto de poliedros:
Siendo:
- C, el número de caras del poliedro.
- V, el número de sus vértices.
- A, las aristas.
- D, las diagonales.
Un octaedro puede verse como la unión de dos pirámides cuadrangulares superpuestas por sus bases. Estas dos pirámides tienen sus ocho aristas (las cuatro de la base y las cuatro laterales) iguales entre sí.
Área del octaedro
El área del octaedro se calcula a partir de una de sus aristas.
¿Cómo se obtiene la fórmula?
Como el octaedro consta de ocho caras que son triángulos equiláteros y sabemos que el área de un triángulo equilátero es:
Volumen del octaedro
El volumen del octaedro se calcula mediante la fórmula siguiente:
¿Cómo se obtiene la fórmula?
Veamos la procedencia de esta fórmula:
Viendo el octaedro como la unión de dos pirámides cuadrangulares con aristas iguales (a), el volumen del octaedro será el doble del volumen de cada una de estas pirámides:
Diagonal del octaedro
Las diagonales de un octaedro son rectas que unen dos vértices que pertenecen a caras diferentes. El octaedro tiene 3 diagonales.
Si giramos ligeramente el octaedro de la izquierda, en la que la diagonal D une los vértices A y C, se verán alineados los vértices A, B y C en el la vista del octaedro de la derecha.
La diagonal del octaedro, en consecuencia, es igual a la longitud de las diagonales del cuadrado:
Que es la longitud de las tres diagonales del octaedro.
La fórmula para hallar el número de diagonales de un poliedro regular es:
Siendo C es el número de caras del poliedro, V, el número de sus vértices, A, las aristas y D, las diagonales.
DCT, son las diagonales de las caras laterales. Como las caras de un octaedro son triángulos equiláteros, que no tienen diagonales, en este caso DCT = 0.
Una sección del octaedro
Cortemos un octaedro con un plano paralelo a dos caras opuestas (ABC y DEF) de manera que corte a las seis aristas que intersecte en su punto medio. La sección será un hexágono cuyo lado será igual a la mitad de una arista del octaedro.
¿Sabias qué los poliedros regulares se conocen también como sólidos perfectos o sólidos platónicos? Se conocen desde la antigüedad clásica. Aunque le atribuyen a Pitágoras (569 a.C. – 475 a.C). el descubrimiento de los cuatro primeros y su escuela el restante, fué Platón (427 a.C – 347 a.C.) quien los cita en sus Diálogos. Les da un carácter místico, asociándolos a los elementos de la filosofía clásica: al tetraedro, el fuego, al cubo, la tierra, al octaedro, el aire, al dodecaedro, los límites del universo y al icosaedro, el agua.
cuales el vértice cara arista
Verás en esta página que a cada vértice del octaedro confluyen cuatro aristas.
Consulta el teorema de Euler para poliedros en UNIVERSO FÓRMULAS.
(Y sobra decir que, como en todo poliedro, cada arista termina en dos vértices)
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Ejercicio: Si las aristas de un octaedro regular miden ‘a’, ¿Cuál es volumen del poliedro cuyos vértices son los incentros de sus ocho caras?.
OK
Hubieras colocado un ejercicio resuelto pero bueno no importa
Muy buena pagina…. Muchisimas Gracias
hail grasa